f de ab dans lui meme
et donc on a un point fixe au moins

Bonjour,
il faudrait que tu commences par montrer que k<1, une fois que c'est fais c'est gagné ! Pour cela utilises la donnée de ton post de 15:59 ...

oui j'ai k<1, et apreS?

maintenant que tu l'as montrer, revient à la définition d'une fonction lipschitzienne ... |f(x)-f(y)|<k|x-y|, remplaces : x=xn+1 et y = yn+1 ... Maintenant tout coule de source, non ?

zut, je voulais dire : x= xn et y = xn-1 ... désolé !

oui si a est un point fixe
on a

xn - a  < k^n (x0 - a)

donc xn converge vers a
c'est bon?

NON ! ta question de base est de montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy ...

oui donc c'est équivalent a dire qu'elle converge

si elle converge, alors il existe un rang N a partir duquel on est proche de a

et donc on a pour tous n, m plus grands que ce rang

xn - a < e/2
xm-a<e/2  
donc un-um < e donc lim sup (un-um) = 0 i.e c'est une suite d ecauchy

et si elle est de cauchy, on a une valeur d'adherence donc un terme proche de a
et comme  les termes se rapprochent tous les uns des autres, la suite converge vers a

(ps: un petit défaut de formalisme, je sais on me le reproche souvent mais l'idée est la)

je t'invites à relire mon post de 16:22 :
et puis utilises l'inégalité triangulaire dans :
up - uq = sum(ui+1 - ui,i=q ..p) . Tu vois maintenant?

oui on arrive exactement a la meme chose en fait

donc pas la peine d'introduire des epsilon en plus ... enfin moi j'utilises un miiiiinimum d'epsilon ... Voilà ce qui termine la démo !

Salut
dans un espace E quelconque, dire qu'une suite de points de E est de Cauchy n'implique pas forcément que cette suite converge dans E.

Pour que ce soit le cas il faut que cet espace soit complet.

c'est à dire?

Demandons à Redman sur quoi est défini sa suite!

romu, on est en sup ...

sur un segment de IR donc il nya pas de probleme, et puis les epsilon, je n'ai pas besoin de redémontrer qu'une suite de cauchy converge

mais je ne vois pas dans quels cas et pourquoi ca pose probleme?

Redman, les suites de Cauchy ne sont pas convergentes sur tous les espaces, ils doivent être complet pour ça (IR l'est)

Un exemple, dans ]0,1], on prend la suite de terme général .
Cette suite est de Cauchy, mais ne converge pas dans ]0,1].

On a l'équivalence dans R, mais pas forcément dans ab.

oui enfin elle converge dans I barre

en  tout cas la réciproque est toujours vraie et c'est ce qui ma servi ici

oui mais comment tu montres cette proposition:

oui par le TVI