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Suite de Cauchy
Bonjour à tous!
Je suis en train de faire un exercice et sur les 3 questions, je bloque juste sur la première:
Comme le dit l'énoncé, je dois montrer que cette suite est de Cauchy.
D'après la définition d'une suite de Cauchy, j'ai essayé d'encadrer l'intégrale de -1 à 1 de la valeur absolue de 
n - p mais cela ne me mène à rien...
Si quelqu'un avait une idée, cela m'aiderait bien!
Merci beaucoup ! 
On suppose n<p. Je remarque que n-p est nulle en dehors de [-1/n,1/n] et que dans cet intervalle elle est majorée par 2. Donc un encadrement immédiat prouve que
||n-p|| 
2*2/n = 4/n.
Cela prouve immédiatement le caractère de Cauchy.
Bonjour Babou14 et merci beaucoup pour la réponse!
Mais je voulais juste savoir: comment sais tu que n - p est majorée par 2 dans cet intervalle?
En tout cas, merci encore!
en fait si x n'appartient pas à [-1/n,1/n] il est clair que |n(x)| est plus petit que 1. Si x est dans [-1/n,1/n] (c'est à dire |x|1/n), alors
|n(x)|=|nx|1.
Donc |n(x)| est majoré par 1 pour tout x et pour tout n, et j'en déduis que la différence |n-|n| est majorée par 2 pour tous n et p par inégalité triangulaire.
et bonne fin de journée!
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