Bonsoir Miharim.
Si ta suite est de Cauchy dans E, de dimension finie, alors elle est convergente.
Et tu dois normalement savoir qu'une suite d'un espace de dimension finie est convergente si et seulement si ses composantes les sont.

jsvdb oui je sais ça mais je me demande si par exemple on peut accorder toute les proprieté d'une suite à ses composantes mais en fin de compte ces propriétés ne sont pas multiples.
et le résultat dont vous parlez,j'ai voulu le montrer en disant qu'une suite de cauchy réel est convergente c'est pour cela j'ai posé la question

il n y'a pas beaucoup de propriété sauf si on arrive à définir une relation d'ordre sur E

Bonjour !
Tu ne dis pas comment est définie la distance (ou la norme si c'est le cas) dans l'espace produit !

Pour les normes usuelles du produit il y a une relation d'ordre entre les distances des composantes et la distance de .
Par exemple, pour la norme euclidienne de tu as où désigne l'une des composantes du vecteur.
De telles relations donnent le résultat immédiatement.

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Plus techniquement les applications de vers les composantes sont uniformément continues en dimension finie et l'image d'une suite de Cauchy est alors une suite de Cauchy.

Oups !
Pour le majorant je pensais à la norme infinie ! Avec "une" composante c'est faux !

De même l'utilisation de la continuité uniforme n'est valable que pour des normes de , ce que tu aurais dû préciser.
Si tu prends une suite de Cauchy pour une distance, qui n'est pas induite par une norme, dans il n'y a aucune raison que les suites composantes soient aussi de Cauchy.