Bonjour,

Je suis actuellement en train de faire un exercice et une question me perturbe un peu.
En voici l'énoncé :

Soit E un espace préhilbertien réel complet.
Soit A une partie bornée de E. On note X = {d(x,y), (x,y)€A²} (où (d(x,y) est la distance de x à y associée à la norme de E. Soit d(x,y) = ||x-y||)
On pose δ(A) = Inf X.

De plus, on considère une suite (An) de parties fermées, bornées et non vides de E telles que :
(1) Pour tout n€N, An+1 C An (le symbole "C" signifiant "inclus", ici)
(2) lim δ(An) = 0 (lorsque n tend vers l'infini)

Enfin, on considère une suite d'élément de E, notée (xn) telle que pour tout n€N, xn€An.
On doit alors montrer que la suite (xn) est une suite de Cauchy.


J'ai tenté de répondre à cette question, mais ma réponse me semble douteuse (je n'utilise d'ailleurs pas la condition selon laquelle pour tout entier n, l'élément xn appartient à l'ensemble An) :

Soit ε>0.
Comme δ(An) converge vers 0 en l'infini, alors il existe une entier n0 tel que pour tout n>n0, δ(An)<ε
Autrement dit, il existe une entier n0 tel que pour tout n>n0, Inf Xn<ε (où Xn est l'ensemble des distances séparant de points de An)
Donc il existe un entier n0 à partir duquel, pour tout (xp, xq)€An², d(xp,xq)=||xp-xq||<ε.

Et donc, la suite des (xn) est une suite de Cauchy.



Je ne suis vraiment pas sur de cette démonstration, si vous poviez me dire ce que vous en penser et, si elle est fausse, m'aiguiller vers la bonne direction (parce que je ne vois pas ce que je pourrais faire d'autre, à vrai dire... ), je vous en serais très reconnaissant.


D'avance merci,


Mezame.