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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Suite de fonction convergence uniforme

Posté par
Mickadoss
15-03-19 à 09:03

Bonjour à toute la communauté.

Voici l'exercice :

énoncé


Soit (f_n(x))_{n\in\N} une suite de fonctions définie sur [0,1] par pour n \leq 1, f_n(x) = \frac{ne^{-x} + x^2}{n+x}
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions sur [0,1], ]0,1] et [a,1] \forall a \in \R


Sur la convergence simple, c'est facile :
production personnelle


 f_n(0) = 1 = e^0
et soit x \in ]0,1]. Alors f_n(x) \sim \frac{ne^{-x}}{n}=e^{-x} \rightarrow_{n \rightarrow \infty} e^{-x}

Donc (f_n(x))_{n \in \N} converge simplement sur  [0,1] vers f(x) = e^{-x}


Par contre pour la convergence uniforme je ne sais pas comment m'y prendre

Voici tout de même ce que j'ai :
recherche


||fn - f || = sup_{[0,1]}|\frac{x^2-xe^{-x}}{n+x}|


Mais comment majorer  |\frac{x^2-xe^{-x}}{n+x}| je ne sais pas trop.

Merci pour votre aide.

Posté par
lionel52
re : Suite de fonction convergence uniforme 15-03-19 à 10:50

Bah ton truc est plus petit que C/n avec C un majorant de |x^2 - x e^{-x}| sur [0,1]  (par exemple 2)

Posté par
Mickadoss
re : Suite de fonction convergence uniforme 16-03-19 à 12:37

C'est pas trop compliqué mais en gros pour majorer la norme sup j'utilise l'inégalité triangulaire : |x^2-xe^{-x}|\leq |x^2|+|xe^{-x}|

Est-ce exact?
Merci

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