Niveau Maths sup

suite de fonction convexe

Posté par
LERAOUL 29-12-17 à 08:59

Bonjour.
soit I un intervalle ouvert de IR. pour $n\epsilon IN$ on considère $f_{n} :\: IR\, \rightarrow \: IR$ une fonction convexe. On suppose que la suite la suite $(f_{n})_{n\epsilon IN }$ converge simplement vers f.
Montrer que la suite $(f_{n})_{n\epsilon IN }$ converge uniformément sur tout [a, b] inclus dans I.

Est ce qu'on peux affirmer qu'il existe une une constance M strictement positive tel que. n dans IN, x, y dans [a, b] $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq M$ $\left|x-y \right|$ .
Merci.
.

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 09:01

je vous voulais appliquer le théorème de DINI. mais c'est trop facile.

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 12:41

Salut il me semble que si on pose:
$I=[0,1]$
$\\f_{n}(x)=x^{n}$

alors pour tout x dans I, quelque soit n entier, la suite (fn) est convexe et converge simplement vers f mais pas uniformément sur [0,1].

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 12:46

Pardon j'avais pas vu que I devait être ouvert, on peut donc poser I = ]-1,1[

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 12:48

]0,2[ pour convexe ^^

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 12:58

Bonjour LERAOUL.

Citation :
Est ce qu'on peux affirmer qu'il existe une une constance M strictement positive tel que.

n dans IN,

x, y dans [a, b] $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq M$ $\left|x-y \right|$ .
Merci.

Effectivement, j'imagine que vous devez avoir l'exercice classique où l'on dit que la convergence simple d'une suite de fonctions M-lipschitziennes sur un intervalle [a;b] est en fait uniforme.
Il suffit donc de montrer que la suite de fonctions convexes qui converge simplement est localement M-lipschitziennes, uniformément en n.

supposons I de la forme $]\alpha;\beta[$ et fixons $[a;b] \subset I$ . On prend également a' et b' tels que $\alpha < a' < a$ et $b < b' < \beta$

Comme $f_n$ est convexe, on a pour tout $x;y \in [a;b]$ avec $x\neq y$ :

${\blue \dfrac{f_n(a)-f_n(a')}{a-a'}}\leq \dfrac{f_n(x)-f_n(y)}{x-y} \leq {\blue \dfrac{f_n(b') - f_n(b)}{b'-b}}$

Les suites en bleue admettent une limite quand n tend vers l'infini. Elles sont donc bornées.

On en déduit l'existence de $M > 0$ telle que $\forall n \in \N, \forall (x;y) \in [a;b]^2, x \neq y, \left|\dfrac{f_n(x)-f_n(y)}{x-y}\right|\leq M$

Contre-exemple : la suite de fonction $x\in [0;1] \mapsto x^n$ est bien convexe, converge simplement vers sa limite, mais n'est pas uniformément M-lipschitzienne en n. On ne peut donc rien dire à priori sur sa convergence uniforme (même si on sait à posteriori qu'elle ne converge pas uniformément)

Posté par re : suite de fonction convexe 29-12-17 à 16:06

merci, beaucoup

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
24 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

6 visiteurs

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

suite de fonction convexe

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths