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Suite de fonction limite

Posté par
Vantin 18-10-22 à 21:31

Bonjour, c'est encore moi !
Voici l'exercice qui me fait des misères:

Construisez une suite de fonction Riemann intégrables \{ f_k\} sur [0, 2\pi] tel que \underset{n\to +\infty}{\lim}\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \lvert f(x) \rvert ^2 dx = 0 mais \forall x  \underset{n\to +\infty}{\lim} f(x) n'existe pas.

Indice: Choissisez une suite d'intervalle \{I_k\} de taille tendant vers 0 tel que chaque point appartient à une infinité d'interval puis poser f_k = \chi_{I_k}.

J'ai globalement réussi l'exercice mais j'aimerais avoir de l'aide pour justifier mes idées mathématiquement.

J'ai décidé de prendre la suite d'intervalle suivante:
I_0 = [0,2\pi] \\ I_1 = [0,\pi] \\ I_2= [\pi,2\pi] \\ I_3 = [0,\frac{2\pi }{3}] \\ I_4 = [\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}] \\ I_5 = [\frac{4\pi }{3},2\pi]

Je pense que vous avez compris l'idée, je divise mon intervalle en 1 partie, puis en deux etc et ma séquence c'est ces parties.

Maintenant si je définie:
\begin{array}{ccccc} \\ f_k & : & [0,2\pi] & \to & \{0,1\} \\ \\ & & x & \mapsto & f(x)= 0 \mbox{ ,if } x \in I_k \\ \\ & & && \phantom{f(x)=}1, \mbox{ ,if } x \notin I_k \\ \end{array}

Clairement il y a une infinité de 0 et de 1 donc ma fonction n'a pas de limite et si j'intègre ma fonction les bornes de mon interval vont être 0 en haut comme en bas vu que la taille de mon interval est 0 donc deux bornes identiques signifie une intégrale nulle et l'exercice est finie.

Mais je ne suis pas satisfait avec cette argumentation, je veux prouver cela formellement alors pour cela je me suis dis ok commençons par formaliser ma suite. J'imagine qu'il est possible de l'écrire autrement (car j'ai eu beaucoup de mal à trouver mon écriture) mais moi j'ai écris cela:

I_n = [\frac{2\pi}{m}\cdot l ;\frac{2\pi}{m}\cdot (l+1) ] où l= n -  \underset{m \in \N}{\max} \{ (\sum_{k=0}^{m} k) < n \}

Voilà maintenant je veux montrer que f_k n'admet pas de limite autrement dit qu'elle ne converge pas simplement.
Là je bloque je ne sais pas comment montrer que la suite de fonction n'admet pas de limite formellement, j'ai tenté avec des suites extraites mais cela n'a rien donné.

Pour l'intégrale, j'ai   \underset{n \to +\infty}{\lim} \frac{2\pi}{m}.
Là encore, m dépend de n mais je n'ai pas de relation claire entre les deux (enfin si mais je n'arrive pas à l'exploiter), je vois bien que si n tend vers l'infini alors m tend aussi vers l'infini et que du coup mon expression vaut 0 mais "je vois" n'est pas une preuve...

Je sais que j'ai écris beaucoup donc je vous remercie de m'avoir lu et merci d'avance pour votre aide !

Posté par
phyelec78re : Suite de fonction limite 18-10-22 à 22:20

Bonjour,

j'ai un doute sur le choix de votre suite d'intervalle. Pour ma part, j'aurais pensé à :

I_k= [\dfrac{(k-1) *2\pi}n , \dfrac{k *2\pi}n]

Posté par
phyelec78re : Suite de fonction limite 18-10-22 à 22:28

que savez-vous sur f : continue ?

Posté par
Vantinre : Suite de fonction limite 18-10-22 à 22:47

Bonjour,
Je pense qu'il y a plusieurs choix possibles pour la suite d'intervalle néanmoins la mienne fonctionne, je l'ai trouvée en traçant la droite de 0 à 2 pi et en traçant des flèches de taille I_k  et lorsque que je prends un point c, la droite d'équation x=c touche une infinité d'interval I_k.

Concernant votre suite, je ne suis pas sur de la comprendre car n n'est pas défini
En partant de 1, on obtiendrait :
I_1 = [ 0,2pi/n]
I_2 = [2pi/n,3pi/n]
I_3 = [3pi/n,4pi/n]
Donc visuellement on se rapproche du centre de [0,2pi] j'ai l'impression que ça ne marcherait pas car tous les points n'auraient n'appartiennendraient pas tous à une infinité d'intervalles bien que la longueur tende vers 0.

Posté par
Vantinre : Suite de fonction limite 18-10-22 à 22:49

Si je prends f_k = \chi_{I_k}, ce n'est clairement pas continue, on fait seulement l'hypothèse que cela doit être intégrable.

Posté par
phyelec78re : Suite de fonction limite 18-10-22 à 23:17

1) Pour ma suite :
En partant de 1, j' obtiens :
I_1 = [ 0,2pi/n]
I_2 = [2pi/n,4pi/n]
I_3 = [4pi/n,6pi/n]
n est le nombre de points de la subdivision que l'on fait tendre vers +oo et tous les intervalles Ik ont la même taille .

2) pour qu'une fonction soit intégrable au sens de  Riemann , il faut qu'elle soit continue par morceaux.
Est-ce que f une fonction intégrable au sens de Riemann?

Posté par
Vantinre : Suite de fonction limite 19-10-22 à 09:43

D'accord, je viens de comprendre votre suite !

Oui f est intégrable au sens de Riemann donc continue par morceaux, je l'ai marqué dans mon premier message ?

Posté par
GBZMre : Suite de fonction limite 19-10-22 à 10:06

Bonjour,
Ta suite d'intervalles est très bien, pas besoin de la changer.  Et tu peux tout justifier rigoureusement en remarquant que pour tout entier naturel n, les n+1 intervalles I_k avec n(n+1)/2\leq k<(n+1)(n+2)/2 sont tous de longueur 2\pi/(n+1) et recouvrent [0,2\pi}

Posté par
Vantinre : Suite de fonction limite 20-10-22 à 10:07

J'avoue que ce n'est pas claire comment cette relation est censée m'aider pour exhiber le fait que f_k n'admet pas de limite en aucun point

Posté par
Zrunre : Suite de fonction limite 20-10-22 à 17:24

Bonjour ,

Connais-tu la notion de suite extraite ?

Ici, pour chaque x, tu peux trouver deux suites extraites de (f_k(x))_k qui tendent respectivement vers 0 et vers 1 ...

Posté par
GBZMre : Suite de fonction limite 21-10-22 à 11:28

Pour tout x\in [0,2\pi] et pour tout entier n\geq 2, il y a au moins un intervalle I_k avec n(n+1)/2\leq k <(n+1)(n+2)/2 qui contient x et au moins un intervalle I_\ell avec n(n+1)/2\leq \ell <(n+1)(n+2)/2 qui ne contient pas x (les intervalles dans cette tranche forment une subdivision de [0,2\pi] en n+1 intervalles égaux).

Posté par
GBZMre : Suite de fonction limite 21-10-22 à 11:29

Ceci étant constaté, réfléchis à ce que dit Zrun.


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