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Suite de fonction non convergente

Posté par
vastemath 19-04-21 à 19:21

Bonjour,

J'ai cette suite de fonction  (f_n) définie par
f_n(x)=\begin{cases} n,\, 0\leq x\leq \frac{1}{n^2}\\ \\ \frac{1}{\sqrt{x}},\, \frac{1}{n^2}\leq x\leq 1\end{cases}

Comment montrer qu'elle ne converge pas dans C([0,1],\mathbb{R}) muni de la distance  d(f,g)=\int_0^1|f(x)-g(x)| dx

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 19:57

Bonjour vastemath ,

tu peux raisonner par l'absurde

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 20:02

et supposer qu'il existe une fonction continue \Large \boxed{f:[0,1]\to\mathbb R} telle qu'on ait \Large \boxed{\lim_n\int_0^1\left|f_n(x)-f(x)\right|dx=0}

Posté par
vastemathre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 20:15

donc on a

\lim_{n\to\infty}\left[\int_0^{\frac{1}{n^2}}|n-f(x)| dx+\int_{\frac{1}{n^2}}^1|\frac{1}{\sqrt{x}}}-f(x)|dx\right]=0

J'ai un problème avec l'expression de f , approprie c'est $\frac{1}{\sqrt{x}}$ de ]0,1]

mais comment faire avec \lim_{n\to\infty}\left[\int_0^{\frac{1}{n^2}}|n-f(x)| dx

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 22:02

pour \Large \boxed{a\in]0,1]} fixé , on a :


\Large \boxed{0\leqslant\int_a^1\left|f_n(x)-f(x)\right|dx\leqslant\int_0^1\left|f_n(x)-f(x)\right|dx} et donc \Large \boxed{\lim_n\int_a^1\left|f_n(x)-f(x)\right|dx=0}


et ainsi pour N assez grand (pour avoir \frac{1}{N^2}<a) , on peut écrire :


\Large \boxed{\displaystyle\forall n\geqslant N~~,~~\left|\int_a^1(\frac{1}{\sqrt x}-f(x))dx\right|=\left|\int_a^1(f_n(x)-f(x))dx\right|\leqslant\int_a^1\left|f_n(x)-f(x)\right|dx\to0}



on conclut alors que \Large \boxed{\int_a^1(\frac{1}{\sqrt x}-f(x))dx=0} et ceci pour tout \Large \boxed{a\in]0,1]}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 22:06

c'est à dire que \Large \boxed{\displaysstyle\forall a\in]0,1]~~~,~~\int_a^1f(x)dx=\int_a^1\frac{dx}{\sqrt x}=\left[2\sqrt x\right]_a^1=2-2\sqrt a}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 19-04-21 à 22:15

Or la continuité de f sur le segment [0,1] garantit l'existence d'une primitive F de f sur cet intervalle et on peut alors écrire :


\Large \boxed{\displaysstyle\forall a\in]0,1]~~~,~~\int_a^1f(x)dx=F(1)-F(a)=2-2\sqrt a}}


et en dérivant cette dernière expression par rapport à la variable a , on a : \Large \boxed{\displaysstyle\forall a\in]0,1]~~~,~~f(a)=\frac{1}{\sqrt a}}


ce qui contredit la continuité de f en 0 vu que \Large \boxed{\lim_{a\to0^+}f(a)=\lim_{a\to0^+}\frac{1}{\sqrt a}=+\infty} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
etniopalre : Suite de fonction non convergente 20-04-21 à 00:36

   S'il existe f  : [0 , 1]   continue telle que d(f , fn) 0 , pour tout c ]0 , 1]  on a : [c , 1] |f - 1/.| = 0  (puisque   d(f , fn) pour n assez grand )  donc f = 1/ sur ]0 , 1]

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de fonction non convergente 20-04-21 à 02:42

Remarque :


Pourtant la suite (f_n) est bien de Cauchy ! ie \Large \boxed{\displaystyle\lim_n\int_0^1\left|f_{n+p}(x)-f_n(x)\right|dx=0}.


Ceci dit , cet exercice montre que l'espace vectoriel normé \Large \boxed{\displaystyle\left(~\mathcal C\left([0,1],\mathbb R\right),||~||_1~\right)} n'est pas de Banach. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
vastemathre : Suite de fonction non convergente 20-04-21 à 18:19

Bonsoir

merci pour vos réponses, s'il vous plait est ce que calculer la limite de f_n(x) peut nous guider vers l'idée ou non ?

Posté par
carpediemre : Suite de fonction non convergente 20-04-21 à 19:19

salut

de toute façon f_n converge simplement vers 1/x sur l'intervalle ]0, 1] ...

il n'y a donc guère le choix ...


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