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suite de fonctions

Posté par
Gauss-Tn 03-07-08 à 16:36

Salut  ,
  
Soit  la  suite  de  fonction  2$f_n  n\{0} définies  par  2$f_n : xx^n(1-x^2) , soit  les affirmations suivantes :

1) La suite  de fonctions 2$f_n converge  absolument sur  [-1,1]

2) La suite de  fonctions 2$f_n converge  uniformément  sur  [-1,1]

3) La suite  de fonctions  2$f_n converge  simplement sur  [-1,1]

4) ]2$\lim_{x\to \1} f_n =1

5)]2$\lim_{n\to +\infty} f_n=0

6) n\{0}, valeur  absolue  de 2$f_n  1

J'ai répondu  par :
1)vrai
2)faux car si  f_n converge  simplement  vers  une  fonction qui n'est  pas  continue en  prenant  x= -1
3)faux
4)faux
5)faux
6)vrai

Posté par
apaugamconvergence simple d'abord ! 03-07-08 à 16:53

pour chaque x strictement plus petit que 1 en valeur absolue f_n(x) tend vers 0.
Pour x=+1 ou -1 f_n(x)=0.
Donc on a convergence simple vers la fonction nulle.
Ton argument pour 2) ne tient pas

Cherche le maximum de f_n-0 et ragarde la limite de ce maximum qd n tends vers l'infini

Posté par
Gauss-Tnconvergence simple d'abord ! 03-07-08 à 17:13

mais  pour  x=-1 2$f_n=-1^n
pour  n  est pair  2$f_n tend  vers  1
      n  est  impair 2$f_n tend  vers  -1

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 03-07-08 à 17:18

j'ai calculer  le  sup (f_n-0)=\frac{2}{n} tend  vers  0
on aura  docn  la  convergence  uniforme convergence  simple  ?

Posté par
apaugamre : suite de fonctions 03-07-08 à 18:29

Calcule bien !
f_n(-1)=(-1)^n\times0=0
et le Sup(f_n-0) en valeur absolue ce n'est pas du tout ça.
il est atteint pour x^2=\frac{n}{n+2}.

Attention la limite demande des précautions à cause du (\frac{n}{n+2})^{\frac{n}{2}}

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 03-07-08 à 18:52

d'accord  pour  le  sup   mais j'ai  pas  trouver  3$(\frac{n}{n+2})^(\frac{n}{2})

Posté par
apaugamre : suite de fonctions 03-07-08 à 21:55

si x^2=\frac{n}{n+2} calcule x^n.

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 03-07-08 à 23:07

oui

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 03-07-08 à 23:53

voilà le  calcul  que

4$\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}^{\frac{n}{2}}=

4$\lim_{n\to +\infty}exp{\frac{n}{2}}log(\frac{n}{2+n})=


4$\lim_{n\to +\infty}exp{\frac{n}{2}}log(\frac{n-2+2}{2+n})=

4$\lim_{n\to +\infty}exp{\frac{n}{2}}log(1\frac{2}{n+2})=

4$\lim_{n\to +\infty}exp{\frac{-n}{n+2}}exp(\frac{-1}{2})
ne  tend  pas  vers  0

donc  la suite  de  fonction ne converge  pas  uniformèment.
1) vrai
2) faux
3) vrai

est-ce que  bien  ça  ?  

Posté par
tealcre : suite de fonctions 04-07-08 à 07:21

Salut,

aux erreurs de latex près, cela me semble bon oui ^^

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 04-07-08 à 10:05

Bonjour  
pour  les    affirmations on aura :

1)vrai  
2)faux
3)vrai
4)faux
5)vrai
6)vrai
?

Posté par
apaugamre : suite de fonctions 04-07-08 à 15:15

x^n est multiplié par 1-x^2 qui tends vers 0 pour x=\frac{n}{n+2}qd n tends vers l'infini
donc la convergence de la suite de fonction est uniforme vers la fonction nulle.
NB il faut faire le calcul en valeur absolue
ici j'ai écrit les calculs pour x>0
il suffit de remplacer x^n par valeur absolue de x puissance n.

il y a une erreur ds la limite. c'est e^{-1} car
\ln(1-\frac{2}{n+2})=-\frac{2}{n+2}+\frac{2}{n+2}\varepsilon(\frac{2}{n+2})

Posté par
apaugamattention aux équivalents 04-07-08 à 16:13

En relisant je vois une autre faute de démonstration
si \frac{n}{2}ln(1-\frac{2}{n+2}) est bien équivalent à \frac{n}{2}(-\frac{2}{n+2}) quand n tends vers \infty
Mais, on n'a aucun théorème qui permet de dire que l'exponentielle des 2 expressions tends vers la même limite.

par exemple
n est équivalent à n+1 quand n tends vers \infty
e^n n'est pas équivalent à e^{n+1} quand n tends vers \infty
mais ici cela ne les empêche pas de tendre tous les deux vers \infty quand n tends vers \infty

par contre dans le plan complexe
e^{2ni\pi} tends vers 1 et  e^{{(2n+1)i}\pi}tends vers -1  quand n tends vers \infty

et pourtant
{2ni\pi}  et  {{(2n+1)i}\pi} sont équivalents quand n tends vers \infty

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 04-07-08 à 16:17

oui  j'ai fait  une faute de calcul, et concernant  les affirmations :

1)vrai  
2)faux
3)vrai
4)faux
5)vrai
6)vrai
?  

Posté par
apaugamre : suite de fonctions 04-07-08 à 16:22

non le 2 est vrai egalement
relis bien mon avt dernier message

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 04-07-08 à 16:25

bon j'aurai  du  écrire  inférieur  ou  égale  puis conclure  

Posté par
Gauss-Tnsuite de fonctions 04-07-08 à 16:29

merci  pour  votre  aide  

apaugam


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