Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

suite de fonctions

Posté par joanna (invité) 05-03-06 à 18:14

Bonjour,
Soit l'énoncé suivant:

Soient (Pn(x))n la suite de fonctions définies sur [0,1] par :
pour tout x[0,1], P0(x) = 0
et Pn+1(x) = Pn(x) + 1/2(x-Pn(x)²)

1) Montrer que la suite (Pn) est une suite croissante de polynômes telle que pour tout x appartenant à [0,1], 0Pn(x)x.

2) soit f:[0,1]--> R, x --> x
Montrer que la suite converge simplement vers f.

3) Montrer que :

a) x[0,1], n, x - Pn+1(x)(x - Pn(x))(1-(x)/2)
b) x[0,1], n,0x - Pn(x)(2x)/(2+nx)

4) Montrer que la suite converge uniformément vers f.


Pour la question 1), j'ai regardé le signe de Pn+1(x)-Pn(x) et j'ai bien trouvé qu'elle est croissante si 0Pn(x)x.

Pour la question 2), on a Pn(0)--> 0=f(0), j'ai calculé les premiers termes de Pn(1), et la suite semble converger vers f(1) mais je ne sais pas comment m'y prendre pour prouver qu'on a bien convergence simple.

Pour la question 3-a), j'ai trouvé. Mais le 3-b) je n'ai pas d'idée.

Merci pour votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : suite de fonctions 05-03-06 à 19:26

Bonjour joanna

1) Je pense que tu devrais montrer l'encadrement de la suite par récurrence sur n.
2) La suite est croissante et majorée donc converge.
Il suffit de passer à la limite dans la relation de récurrence pour montrer que le suite de fonctions converge simplement vers f.

Kaiser

Posté par joanna (invité)re : suite de fonctions 07-03-06 à 18:35

Bonjour,

J'ai réussi à tout faire, mais je bloque sur cette question :

Montrer que :

x[0,1], n, 0\sqrt{x} - Pn+1(x)(2\sqrt{x}) / (2+n\sqrt{x}).

Merci pour votre aide.

Posté par
H_aldnoerre : suite de fonctions 07-03-06 à 18:41

Par récurrence ?

Posté par joanna (invité)re : suite de fonctions 07-03-06 à 19:17

Je me suis trompée c'est :

racine(x) - Pn(x) et non Pn+1(x) !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite de fonctions 07-03-06 à 21:40

Bonsoir;
Il est facile de voir que \fbox{(\forall x\in]0,1])(\forall n\in\mathbb{N})\\P_n(x)<sqrt x} et on peut ainsi écrire que \fbox{(\forall x\in]0,1])(\forall n\in\mathbb{N})\\0<\frac{sqrt x-P_{n+1}(x)}{sqrt x-P_n(x)}< (1-\frac{sqrt x}{2})}
d'où \fbox{(\forall x\in]0,1])(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\\Bigprod_{k=0}^{n-1}\frac{sqrt x-P_{k+1}(x)}{sqrt x-P_k(x)}<(1-\frac{sqrt x}{2})^n} c'est à dire que \fbox{(\forall x\in]0,1])(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\0<\frac{sqrt x-P_n(x)}{sqrt x-P_0(x)}<(1-\frac{sqrt x}{2})^n} ou encore que \fbox{(\forall x\in]0,1])(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\0<sqrt x-P_n(x)<sqrt x(1-\frac{sqrt x}{2})^n}
en examinant les cas x=0 et n=0 on voit qu'on a \fbox{(\forall x\in[0,1])(\forall n\in\mathbb{N})\\0\le sqrt x-P_n(x)\le sqrt x(1-\frac{sqrt x}{2})^n}
il suffit maintenant de voir que \fbox{(\forall n\in\mathbb{N})(\forall a\ge0)\\(1+a)^n\ge1+na} et donc que \fbox{(\forall n\in\mathbb{N})(\forall a\ge0)\\(\frac{1}{1+a})^n\le\frac{1}{1+na}}
pour \fbox{a=\frac{sqrt x}{2}} et en remarquant que \fbox{\forall x\in[0,1]\\0<1-\frac{sqrt x}{2}\le\frac{1}{1+\frac{sqrt x}{2}}} on voit que \blue\fbox{(\forall x\in[0,1])(\forall n\in\mathbb{N})\\0\le sqrt x-P_n(x)\le sqrt x\frac{1}{1+n\frac{sqrt x}{2}}=\frac{2sqrt x}{2+n sqrt x}}
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite de fonctions 09-03-06 à 17:45

Pour répondre à la question 4) on dira que:
\fbox{\sup_{x\in[0,1]}|P_n(x)-sqrt x|=\sup_{x\in[0,1]} sqrt x-P_n(x)\le\sup_{x\in[0,1]}\frac{2sqrt x}{2+n sqrt x}}
Une petite étude de la fonction \fbox{x\to\frac{2sqrt x}{2+n sqrt x}} montre que ce sup est atteint en x=1 et donc que \fbox{\sup_{x\in[0,1]}|P_n(x)-sqrt x|=\frac{2}{2+n}} et on voit que \blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\sup_{0\le x\le1}|P_n(x)-f(x)|=0} ce qui traduit la convergence uniforme de la suite (P_n)_n vers f sur [0,1].
Sauf erreurs bien entendu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !