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Suite de fonctions

Posté par
alb1du29 11-06-18 à 15:46

Bonjour,
je suis face à l'exercice suivant : Soient (\phi, f) continues de [a,b] dans R, avec \phi à valeurs dans \mathbb{R}^{+}_{*} et f  à valeurs dans \mathbb{R}. On pose \forall n \in \mathbb{N}, I_n=\int_{[a,b]}\phi f^n.
1) Montrer que les suites (\sqrt[n]{I_n})_{n \in \mathbb{N} et (\frac{I_{n+1}}{I_n})_{n\in \mathbb{N} convergent vers des limites à déterminer
2) Etudier le cas où \phi est à valeur dans \mathbb{R}

Voici ce que j'ai commencé à faire :
1) Puisque f et phi sont continues sur un segment, elle sont bornées et atteignent leurs bornes, on peut donc définir une norme infinie.
Ainsi, I_n= \vert \vert \phi \vert \vert_{\infty}\vert \vert f \vert \vert^n_{\infty} (b-a)
Le problème c'est que \sqrt[n]{I_n} tend alors vers \vert \vert f \vert \vert^n_{\infty} et je trouve ça bizarre ! De même, je trouve que \frac{I_{n+1}}{I_n} tend aussi vers  \vert \vert f \vert \vert^n_{\infty}

2) Je ne vois pas du tout ce que ça pourrait changer, mais j'imagine que c'est dû à mon mauvais résultat à la question précédente.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer où est-ce que j'ai fait une erreur et ce qu'il trouve, ce serait cool. Merci et bonne soirée !

Posté par
alb1du29re : Suite de fonctions 11-06-18 à 15:48

Rectification : je trouve que les deux limites sont \vert \vert f \vert \vert_{\infty}

Posté par
carpediemre : Suite de fonctions 11-06-18 à 16:23

salut

ben dans le deuxième cas h peut prendre la valeur 0 ou des valeurs négatives

que se passe-t-il par exemple si h = f ? et si I_n est négatif pour un entier pair ...

ensuite je ne crois pas que

Citation :
Ainsi, I_n= \vert \vert \phi \vert \vert_{\infty}\vert \vert f \vert \vert^n_{\infty} (b-a)
soit exact : c'est plutôt une majoration ...

Posté par
alb1du29re : Suite de fonctions 11-06-18 à 16:35

Je me suis également trompé sur la deuxième question (décidément!) c'est \phi à valeurs dans \mathbb{R}^+ seulement.
Donc oui dans le cas ou \phi prend la valeur 0 je ne vois pas trop mais si \phi est nulle dans ce cas l'intégrale est nulle. (je pense que cette intégrale sera plus petite que celle dans le cas ou \phi est à valeurs strictement positives )

Oui vous avez raison : on a plutôt 0 \leq I_n \leq \vert \vert f \vert \vert_{\infty}. Il faudrait donc voir si on ne peut pas minorer I_n par \vert \vert f \vert \vert_{\infty} ou alors majorer plus précisément I_n par 0....

Posté par
carpediemre : Suite de fonctions 11-06-18 à 17:11

il me semble qu'on peut appliquer le théorème de la moyenne

I_n = \int_a^b f^n(t)g(t)dt = f^n(c_n) \int_a^b g(t)dt pour un certain c dans ]a, b[

et puisque g est positive (strictement mais est-ce nécessaire ? (ce qu'on demande à la question 2/)) on peut prendre la racine n-ième sans pb ...

ouais bof ... le pb c'est que c_n  ... dépend  de n


notons M = max |f| car f est continue sur un compact (en supposant que a et b sont finis) alors :

-M \le f(t) \le M => -M^n \le f^n(t) \le M^n => -M^ng(t) \le f^n(t)g(t) \le M^ng(t)

puisque g est positive (strictement)

et on peut prendre l'intégrale ...

damned !! rebof !!!

bon je poste quand même ... dès fois que ça donne une idée ...

Posté par
luzakre : Suite de fonctions 11-06-18 à 18:00

Bonsoir !
Moi je ne vois pas comment on peut écrire \sqrt[n]{I_n} lorsque f est à valeurs réelles négatives ?

Ce qui est sûr c'est que, sans écrire d'intégrales, les suites n\mapsto\sqrt[n]{I_n},\;n\mapsto\dfrac{I_{n+1}}{I_n} ont même limite quand elles sont définies.

.......................
Supposons f strictement positive, maximale en c\in[a,b],\;A=f(c).
Pour \varepsilon>0 il existe [u,v]\subset[a,b] tel que u<t<v\implies 0<B=A-\varepsilon\leqslant f(t).
En élevant à la puissance n et en multipliant par \Phi=g tu peux obtenir un encadrement de \sqrt[n]{I_n} :  B\sqrt[n]{\int_u^vg}\leqslant \sqrt[n]{I_n}\leqslant A\sqrt[n]{\int_a^bg}

Et ta chance est que les racines de l'encadrement ont même limite...

..............................
Maintenant, pour f prenant des valeurs négatives je ne vois pas...

Posté par
alb1du29re : Suite de fonctions 11-06-18 à 18:30

Bonsoir, je vais rectifier mon énoncé qui était truffé de faute :
Soient (\phi, f) continues de [a,b] dans R, avec \phi à valeurs dans \mathbb{R}^{+}_{*} et f  à valeurs dans \mathbb{R}^+. On pose \forall n \in \mathbb{N}, I_n=\int_{[a,b]}\phi f^n.
1) Montrer que les suites (\sqrt[n]{I_n})_{n \in \mathbb{N} et (\frac{I_{n+1}}{I_n})_{n\in \mathbb{N} convergent vers des limites à déterminer
2) Etudier le cas où \phi est à valeur dans \mathbb{R}^+


Luzak, tu avais donc raison, cela ne fonctionne pas pour f à valeurs négatives! Cependant je ne comprends ce que tu dis :

Pourquoi les deux suites ont la même limite ? Et pourquoi les deux encadrements ont même limite ? je ne vois pas car ce ne sont pas les même bornes... Pourrais-tu m'expliquer s'il te plait ?

luzak @ 11-06-2018 à 18:00

Bonsoir !
Ce qui est sûr c'est que, sans écrire d'intégrales, les suites n\mapsto\sqrt[n]{I_n},\;n\mapsto\dfrac{I_{n+1}}{I_n} ont même limite quand elles sont définies.

...

Et ta chance est que les racines de l'encadrement ont même limite...
/quote]

Posté par
carpediemre : Suite de fonctions 11-06-18 à 19:07

luzak : effectivement j'étais parti sur une question de parité de n  ... mais cela n'est évidemment vrai que pour les entiers et non pour un réel strictement négatif et non entier ... désolé ...

il aura quand fallu plus de trois heures pour avoir un énoncé exact ...

luzak :

Posté par
luzakre : Suite de fonctions 12-06-18 à 08:09

Pour commencer une erreur : les suites n'ont pas la même limite MAIS si la suite n\mapsto\dfrac{u_{n+1}}{u_n} a une limite, la suite n\mapsto\sqrt[n]{u_n} a la même limite.
Résultat bien connu concernant la comparaison des conditions suffisantes de Cauchy et d'Alembert pour les séries.
Et qu'on peut démontrer ainsi (ou aussi utiliser la moyenne de Césaro) :
Soit u_n>0 à partir d'un certain rang.
Si n\mapsto\dfrac{u_{n+1}}{u_n} a une limite \ell\in\R_+^* en prenant 0<a<\ell<b les séries \sum\dfrac{u_n}{b^n},\;\sum\dfrac{a^n}{u_n} sont convergentes (condition suffisante de d'Alembert) donc, à partir d'un certain rang, a\leqslant\sqrt[n]{_n}\leqslant b.
Pour \ell=0 on n'utilise que b et pour \ell=+\infty on n'utilise que a.
....................................
Pour ta question concernant les suites encadrantes, quelle est la limite de n\mapsto\sqrt[n]z lorsque z>0 ?

Posté par
luzakre : Suite de fonctions 12-06-18 à 09:54

Reste la limite pour n\mapsto\dfrac{u_{n+1}}{u_n} car on est dans le cas où l'implication d'égalité des limites ne marche pas : n\mapsto\sqrt[n]{u_n} peut avoir une limite mais pas n\mapsto\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

Merci de vérifier ceci :
En écrivant gf^{n+1}=\sqrt g\,f^{(n/2)}\;\sqrt g\,f^{(1+n/2)}, par inégalité de Schwarz on a :
I_{n+1}^2\leqslant I_nI_{n+2} donc la suite n\mapsto\dfrac{I_{n+1}}{I_n} est croissante, a une limite dans \R_+\cup\{+\infty\} et là on peut conclure.


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