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Niveau maths spé
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Suite de fonctions

Posté par
Georges57
30-01-24 à 18:57

Bonjour, j'ai un exercice dans lequel je fais manifestement une erreur, néanmoins je n'arrive pas à voir où :

fn : R+ —> R , x —> exp(-nx)Arctan(nx)
Convergence uniforme de (fn) sur R+?

Première méthode j'étudie les variations de fn pour majorer sa norme infinie :
Pour tout x dans R+ : fn ‘(x) = nexp(-nx) an(x)
Avec an : x —> (1+ (nx)^2)^-1 -Arctan(nx)
Pour tout x dans R+ : An ‘(x) <0
Donc An est décroissante, puis un tableau de signe et de variation donne avec le théorème de la bijection par continuité de fn et de an … que fn admet un maximum en b>0 tel que an(b) =0 ie tel que arctan(bn) = (1+ (nb)^2)^-1 d'où pour tout x de R+ :
||fn(x)|| inf < fn(b) = exp(-nb)/(1+(bn)^2) —>0
Ainsi (fn) cvuniformement vers la fonction nulle

Deuxième méthode on montre le contraire :
Pour tout n dans N
fn(1/n) = pi /4e >0
A fortiori ||fn(x)|| inf> 0 donc (fn) ne cvu pas sur R+ même pas sur R+*

Voilà, je serais content de comprendre où est mon erreur, merci d'avance.

Posté par
candide2
re : Suite de fonctions 30-01-24 à 20:07

Bonjour,

Tu écris :
"... que fn admet un maximum en b>0 tel que an(b) =0 ie tel que arctan(bn) = (1+ (nb)^2)^-1 d'où pour tout x de R+ : ..."

Mais  an = (1+ (nx)^2)^-1 -Arctan(nx)
an(b) = 0 --> (1+ (nb)^2)^-1 = Arctan(nb)

Mais ceci entraîne nb \simeq 0,747212 qui est constant.

f est max pour  x \simeq \frac{0,747212}{n}
et  f_{max}  \simeq 0,30397... et est indépendant de la valeur de n.

Vois si cela t'aide.

Posté par
Georges57
re : Suite de fonctions 30-01-24 à 20:23

Merci pour votre réponse, en effet je comprends bien à présent, nb est constant et b dépend en fait de n… ce qui m'empêche de passer à la limite à la fin et de conclure.



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