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Suite de fonctions: "convergence simple"

Posté par
matix 13-10-07 à 14:40

Bonjour,

J'ai un problème sur un exercice dans lequel on demande de d'étudier la convergence simple d'une suite de fonctions.
Un certain nombre de personnes ont tenté de m'expliquer la démarche à suivre, en vain. Je ne parviens toujours pas à comprendre le raisonnement à adopter..

la suite de fonctions est définie ainsi:

Pour x \in [0,1], \forall n \in \mathbb{N}:

f_n(x) = n^2x(1-nx) si x \in [0, \frac{1}{n}]
f_n(x) = 0 sinon.

Je suppose que c'est un exemple d'étude des plus simples, mais n'ayant encore jamais vu d'exemple, je n'ai pas de "méthode".
Par définition, je sais que f_n CVS vers f si \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).

Mais voilà... Intuitivement, j'ai voulu regarder la limite de l'expression pour x \in [0, \frac{1}{n}]: ça tend vers - \infty. Que déduire de ça?!
J'ai alors regardé cette limite pour x=0: on constate que f_n(0)=0 \, \, \forall n
De même, j'ai regardé pour x=1 et x=\frac{1}{n}, et on obtient le même résultat... Et pour tous les x situés entre 0 et 1/n?

Je suppose que ma méthode n'est pas la bonne, alors si quelqu'un pouvait me montrer, ce serait sympa! J'insiste bien sur la méthode..

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:05

Bonjour matix

Voilà comment ça marche. Tu fixes x>0. Que vaut fn(x)? Sa valeur dépend du fait que x est ou n'est pas dans [0,1/n].
Mais à partir d'un certain n0, c'est sur que 1/nn(x)=0. Comme tu as déjà vu ce qui se passe en 0, la suite converge simplement vers la fonction nulle.

Posté par
matixre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:21

Je n'ai pas compris...

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:22

Essaye de dessiner le graphe de f2 et de f3...

Posté par
matixre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:25

Pourquoi si n > \frac{1}{x} alors f_n(x) =0?

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:29

fn(x)=0 sur [1/n,1] (c'est la définition).

Posté par
matixre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:33

Exact.
C'est dans l'autre cas où je n'ai pas suivi, c'est-à-dire pour x< \frac{1}{n} . On a alors l'expression f_n(x) =n^2x(1-nx). Mais comment raisonne-t-on là? J'ai voulu faire la limite de cette expression, on trouve l'infini... qu'en déduire?

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:40

Tu t'en fiches (enfin, pas dans la question suivante, ou on te demandera si la convergence est uniforme). Je reprends: x est fixé. Pour n=1,2 ... un nombre fini de fois, tant que 1/n>x, fn(x) vaut ce qu'il vaut d'après la première formule. Mais, dès que 1/nn(x)=0. Une suite dont les termes sont nuls à partir d'un certain rang, tend vers 0.

Exemple: x=2/5. C'est garanti que fn(2/5)=0 pour n5.

Posté par
matixre : Suite de fonctions: "convergence simple" 13-10-07 à 16:46

Mouais... J'avoue ne pas être tellement convaincu.. A la limite, cela ne servait presque à rien de poser la question alors, si à partir d'un certain rang, la suite converge...

Posté par
1 Schumi 1re : Suite de fonctions: "convergence simple" 14-10-07 à 08:16

Salut,

Non, en fait, le but c'est de démontrer qu'elle converge effectivement vers la fonction nulle.


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