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suite de fonctions et convergence(4)

Posté par
robby3 19-04-07 à 22:59

Bonsoir à tous, je me lance, si on le finit pas ce soir on l'aura demain!!
voici la bete:

\rm Soit \alpha \in \R et (f_n) une suite de fonctions definie sur [0,1] par f_n(x)=n^{\alpha}x^n(1-x) \\ \\ a)Pour tout \alpha \in \R, montrer que la suite (f_n) converge simplement sur [0,1] \\ \\ b)Montrer que Sup_{x\in [0,1]} f_n(x)=f_n(\frac{n}{n+1}) \\ \\ c)Pour quelles valeurs de \alpha la suite (f_n) converge t-elle uniformement sur [0,1] \\ \\ d)Pour \alpha \ge 1,montrer que (f_n) converge uniformement sur [0,a] pour tout a<1 \\ \\ e)Pour 1\le \alpha\le 2, montrer que: \\ \\ \large \limit_{x\to \infty} \Bigint_0^1 f_n(x)dx=\Bigint_0^1 \limit_{n\to \infty} f_n(x) dx \\ \\ bien que les hypotheses de convergence uniformes qui permettraient ceci ne soient pas \\ satisfaites. \\ \\
Merci d'avance de l'aide de tout le monde!

Posté par
ottore : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:03

Bonjour,
qu'as tu fait ici?
La question 1 n'est pas difficile.
La question 2 n'est pas difficile non plus, tes fonctions sont dérivables, il suffit de dériver pour trouver le sup.

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:04

pour a)
x^n=exp(n.ln(x)) = termes général d'une suite géométrique de raison |r|<1 donc convergence,puis par comparaison avec n^(alpha)...on en déduit que fn converge uniformément vers 1.
Correct?

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:06

salut otto,en fait la je poste des exercices et je réfléchis en meme temps,je pensais que H_aldnoer m'accompagnerait mais il a préféré aller pieuter...alors j'essaye seul

Posté par
perroquetre : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:16

Sur ton post de 23h04: tu peux seulement en déduire la convergence simple. La convergence uniforme, c'est la question c).

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:18

Bonsoir,

En 0 et 1 fn(x) vaut 0, Robby

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:19

oui pardon j'avais meme pas fait attention, je pensais simple bien sur!

pour le b) j'ai ça:
f_n'(x)=n^{\alpha}x^n(\frac{n}{x}-1)

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:20

Salut Rouliane!
(oui j'avais remarqué! c'est d'ailleurs ce qui me pose probleme quand j'ai voulu faire mon tableau de variation)

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:31

Ca se compare comment déjà n^a et x^n ?

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:33

moi j'ai fait ça:

\rm x^n=exp(n.ln(x))
et je me suis dis que c'est l'exponentielle qui l'emporte tout le temps...alors bon...

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:37

ah ben oui évidemment vu que le ln est négatif .

Donc elle converge simplement vers 0 finalement.

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:45

POur la c tu trouves alpha < 1 ?

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:48

oui!!

la c)?
faudrait que je fasse la b) d'abord!!
j'ai trouver la dérivée et aprés bah je trouve qu'elle est positive donc ça converge et en 0 ça vaut 0 et en 1 ça vaut 0...et donc je vois pas trop le sup...c'est tout bete mais la je sais pas,ça coince betement!

Posté par
perroquetre : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:55

La dérivée n'est pas positive. Que trouves-tu comme dérivée ?

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 19-04-07 à 23:57

euhh message de 23:19

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:08

Pour ma part je trouve 4$ f_n'(x)=n^{\alpha}x^{n-1}[n-(n+1)x]

Posté par
perroquetre : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:09

Je n'avais pas lu. Désolé.

f'_n est faux:

f_n'(x)= n^{\alpha}(nx^{n-1}-(n+1)x^n)=(n+1)n^{\alpha}x^{n-1}\left( \frac{n}{n+1}-x\right)

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:21

exact,j'avais oublier le n+1 ...désolé je me suis lamnetablement planté!

ok donc à la c) alpha<1

pour d) j'y réfléchis!

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:36

ahh ben c'est pas trop tot,j'ai trouver!

sur [0,a[, le sup est de la forme n^alpha avec alpha>=1 et de maniere gnérale:

u^n CVU sur [0,a[,a>1!! (terme  d'une suite géo de raison |r|<1)
c'est bien ça?

Posté par
perroquetre : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:37

L'intégrale de f_n se calcule facilement.

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:44

ok effectivement aprés c'est trivail on trouve 0(sauf erreur!)

\rm n^{\alpha}.\frac{1}{(n+1)(n+2)}->0 qd n->\infty ca c'est pour l'integration et pour la limite, c'est 0 d'aprés a)... \\ \\ d'ou le résultat annoncé.

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:46

oula je suis fatigué! mon latex est horrible!

bon bah je vais pieuter à mon tour!

Merci pour tout Perroquet,Rouliane et Otto.
Je reviens dés demain avec encore deux exercices sur les suites de fonctions,aprés ce sera séries de fonctions!!


Merci encore pour votre patience et votre générosité.
A beintot sur l'ile.

Posté par
Roulianere : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 00:50

je t'en prie, bonne nuit à tous, je suis crevé aussi !

Posté par
robby3re : suite de fonctions et convergence(4) 20-04-07 à 01:02

merci!
je remt ça dés demain!


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