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Suite de point d'une conique

Posté par
Crei 02-01-24 à 11:13

Bonjour, besoin d'aide.
soit P d'équation y^{2}=2px, p strictement positif.
soit A_n(x_n,y_n) une suite de point de P définie par:

    §A_0 est un point de P différent du sommet,

    §Pour  tout entier n, la normale à P en A_n coupe P en A_{n+1} (A_{n+1} A_n).

On demande la nature de :
(i)\sum{\frac{1}{x_n}};
(ii)\sum{\frac{1}{y_n}}.
-------------------------------------------------------------
j'ai commence par chercher l'equation de la normale
N:\begin{cases} & x=-\frac{p}{y_n}y + \frac{1}{2p}y_n^2+p\text{ si } y_n \neq 0 \\ &y=0 \text{, si } y_n=0 \end{cases} sauf erreur
Ensuite j'ai essayer de trouver le point d'intersection pour trouver une relation avec A_n+1 espérant obtenir une relation de récurrence et donc pouvoir l'exprimer en fonction de n. Mais je suis coincé.

Posté par
carpediemre : Suite de point d'une conique 02-01-24 à 12:28

salut

la normale à P au sommet est l'axe des abscisses, ce qui n'arrive jamais donc y_n n'est jamais nul (car A_0 n'est pas le sommet de P et P est concave)

la première égalité de l'équation de la normale s'écrit aussi :

2pxy_n = y_n^3 + 2p^2y_n - 2p^2 y \iff yy_n = y_n^3 - 2p^2 (y - y_n)

donc y_{n + 1} = y_n^2 - 2p^2 \left( \dfrac {y_{n + 1}} {y_n} - 1 \right)

ou encore y_{n + 1} (y_n + 2p^2) = y_n (y_n^2 + 2p^2) \iff y_{n + 1} = y_n \dfrac {y_n^2 + 2p^2} {y_n + 2p^2} = y_n^2 \dfrac {1 + \dfrac {2p^2} {y_n^2}} {1 + \dfrac {2p^2} {y_n}}

on montre que y_n --> +oo puis un équivalent devrait permettre de conclure que la somme de inverse est finie car y_{n + 1}\sim y_n^2

à travailler avec rigueur bien sûr !!

Posté par
Creire : Suite de point d'une conique 02-01-24 à 13:52

carpediem @ 02-01-2024 à 12:28

salut

on montre que y_n --> +oo puis un équivalent devrait permettre de conclure que la somme de inverse est finie car y_{n + 1}\sim y_n^2


\text{je considère la fonction f croissante et stable sur R+ avec }f(x)=x\frac{x^2+2p^2}{x+2p^2}
\text{je remarque que f(x)=x admet deux solutions 0 et 1 }
\text{aussi }f \rightarrow +\infty
je suis assez perdu

Posté par
Creire : Suite de point d'une conique 06-02-24 à 06:58

Crei @ 02-01-2024 à 11:13

Bonjour, besoin d'aide.
soit P d'équation y^{2}=2px, p strictement positif.
soit A_n(x_n,y_n) une suite de point de P définie par:

    §A_0 est un point de P différent du sommet,

    §Pour  tout entier n, la normale à P en A_n coupe P en A_{n+1} (A_{n+1} A_n).

On demande la nature de :
(i)\sum{\frac{1}{x_n}};
(ii)\sum{\frac{1}{y_n}}.
-------------------------------------------------------------.

J'ai finalement pu trouver une méthode. En passant par l'équation paramétrique de la parabole

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de point d'une conique 07-02-24 à 03:43

Bonjour

\bullet Si je ne me suis pas trompé dans les calculs, je trouve \Large\boxed{\left\lbrace\begin{array}l ~~~~~~~~~~~~~~~~x_0>0 \\\\ \forall n~,~x_{n+1}=\frac{(x_n+p)^2}{x_n}=x_n+2p+\frac{p^2}{x_n} \end{array}}.

On voit alors que la suite \left(x_n\right)_{n\geqslant0} est strictement croissante et que \Large\boxed{\forall n\geqslant1~~,~p^2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x_k}=x_n-x_0-2pn} ...



\bullet Remarquer que la série \sum\frac{1}{y_n} est alternée ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de point d'une conique 07-02-24 à 18:49

Si la suite \left(x_n\right)_{n\geqslant0} était convergente, sa limite \ell serait strictement positive

et par passage à la limite dans la relation récurrente on aurait \Large\boxed{2p+\frac{p^2}{\ell}=0} ce qui est clairement absurde.

On conclut alors que \Large\boxed{\lim x_n=+\infty}. Et en écrivant \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~\frac{p^2}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x_k}=\frac{x_n-x_0}{n}-2p}

puis en utilisant Cesàro, on voit que \blue\Large\boxed{x_n\sim2pn} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de point d'une conique 07-02-24 à 21:58

\bullet En s'aidant d'un petit dessin, il n'est pas difficile de constater que :


si \Large\boxed{y_0>0} alors \Large\boxed{\forall n~,~y_n=(-1)^n|y_n|} et si \Large\boxed{y_0<0} alors \Large\boxed{\forall n~,~y_n=(-1)^{n+1}|y_n|}.

Et comme \Large\boxed{\forall n~,~|y_n|=\sqrt{y_n^2}=\sqrt{2px_n}} on voit que la série \Large\boxed{\sum_{n\geqslant0}\frac{1}{y_n}} est alternée de Leibniz et donc convergente.

Posté par
Creire : Suite de point d'une conique 24-03-24 à 22:37

elhor_abdelali @ 07-02-2024 à 21:58

\bullet En s'aidant d'un petit dessin, il n'est pas difficile de constater que :


si \Large\boxed{y_0>0} alors \Large\boxed{\forall n~,~y_n=(-1)^n|y_n|} et si \Large\boxed{y_0<0} alors \Large\boxed{\forall n~,~y_n=(-1)^{n+1}|y_n|}.

Et comme \Large\boxed{\forall n~,~|y_n|=\sqrt{y_n^2}=\sqrt{2px_n}} on voit que la série \Large\boxed{\sum_{n\geqslant0}\frac{1}{y_n}} est alternée de Leibniz et donc convergente.



Bonjour, je vous espère bien portant. Merci pour la proposition. J'ai été absent pendant un certain temps. C'est à quelques détails près la même méthode que j'ai faite.   Ici https://drive.google.com/file/d/1TC-SWvO0BCB3aCHbNf_rEn2_jMhhxNYo/view?usp=drivesdk

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite de point d'une conique 25-03-24 à 18:22

C'est un plaisir Crei


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