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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
suite de variables aléatoires
Posté par ila413
Bonjour,
je me trouve coincé dans la résolution d'un exercice dont je trouve le résultat opposé à celui souhaité :
"Soit (Xn) une suite de variables aléatoires de loi exponentielle et de paramètre 1, supposées en plus indépendantes, montrer que P(lim sup {Xn/(ln n)< 1}) = 0."
Je trouve pour ma part : P(Xn/(ln n) < 1) = P(Xn< ln n) = =[
]0ln n = (n-1)/n
Or comme 
(n-1)/n=
, et que les Xi sont indépendants, d'après le lemme de Borel Cantelli, on a que :
P(lim sup {Xn/ln n < 1}) = 1.
Je n'arrive pas à voir en quoi cette résolution peut etre erronnée. La correction proposée de cet enoncé dans mon fascicule d'exercice suggère pour commencer :
"{lim sup Xn/(ln n) < 1} = 
k
1{Xn/(ln n) < 1 - 1/k pour n assez grand}"
Je ne vois pourtant pas comment on obtient cette égalité. J'aurais d'ailleurs plutôt risquer à affirmer que :
{lim sup Xn/(ln n) < 1} = k1{Xn/(ln n) < 1 - 1/k pour une infinité de n}
Si vous avez une idée pour me permettre d'y voir plus clair...
Merci beaucoup et bonne journée
Yn = Xn/ln(n)
limsup(Yn) = Infn(Supk>n (Yk)) = Infn(Zn)
La suite n 
Zn est décroissante .
Les propositions ( sur w 
) sont équivalentes
..limsup(Yn)(w) < 1
..Infn(Zn(w)) < 1
..
N 
, ZN(w) < 1
.. N , 
p * ZN(w) < 1 - 1/p .
.. N , p * , q > N , Yq(w) < 1 - 1/p .
[ limsup(Yn) < 1] = N ( 
p (q>N ([Yq < 1 - 1/p]) ) )
Bonjour etniopal et merci de m'avoir répondu. Il s'agit ici de la lim sup de l'ensemble {Xn/ln(n)<1} (càd des 
tel que Xn()/ln(n)<1) et non pas la limite sup de la suite des variables aleatoires (Xn).
Bonjour ila413.
La solution via la loi 0-1 de Borel semble valide dans ce cadre.
Néanmoins, toute autre méthode qui arrive à ce même résultat est aussi valide. C'est le cas de ce qui est proposé par ton fascicule.
Il est donc bon de connaître et d'étudier les deux.
Bonjour jsvdb, merci de participer à ce sujet.
Je suis désolé mais je ne comprends cependant pas ta réponse. Le resultat que je trouve grace au thm de borel cantelli ne correspond pas au resultat attendu... c'est pour cette raison que je poste ce topic aujourd hui. Quant à l'autre methode, je ne la comprends tout simplement pas...
Il me semble qu'il y une erreur dans l'énoncé .
Quant à
" { lim sup Xn/(ln n) < 1} = k>0 {Xn/(ln n) < 1 - 1/k pour n assez grand} "
Je comprends que ça veut dire que la suite Y : n Xn/(ln n)
vérifie
[ lim sup (Y) < 1 ] = n>0 k>0 [ Yn < 1 - 1/k ]
Mais est-ce bien ce qui est textuellement écrit dans la correction proposée?