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suite défini sur fonction ( méthode de newton)

Posté par
mellepapillon 25-05-06 à 18:57

bonjour à tous,
je bloque sur quelques questions dans mon Dm et j'espère que vous allez me permettre d'y voir plus clair!
alors j'ai une fonction de classe C^2 sur [a,b] et je sais que f(a)<0<f(b) , que sur [a,b] f'(x)>0 et f''(x)>0
soit t1 l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe représentation de f au point d'abiscisse b avec l'axe des absicisses , vérifier que t1=F(b) avec F(x) = x -( f(x)/f'(x) )
ça j'ai réussi à le montrer
j'ai étudié les variations de F qui est décroissantes jusqu'en c ( c est tel que f(c)=0 ) et croissante jusqu'en b ensuite, j'en ai déduit que c<t1<b

maintenant je dois justifier l'existence de la suite (tn) définie par to= b et tn+1 = F(tn)
là je bloque car je dois montrer que tout tn appartient à [a,b] or à l'aide d'un encadrement je ne m'en sors pas

voilà, merci beaucoup par avance
Bonne soirée
Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : suite défini sur fonction ( méthode de newton) 25-05-06 à 19:03

Bonjour Melle Papillon

Il suffit de montrer que l'intervalle [a,b] est stable par F.

D'après ce que tu dis, F est décroissante sur l'intervalle [a,c] et croissante sur l'intervalle [c,b], donc on peut déterminer assez simplement l'image des intervalles [a,c] et [c,b] par F.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : suite défini sur fonction ( méthode de newton) 25-05-06 à 19:06

Attends deux secondes, je crois que j'ai dit une bêtise !

Posté par
kaiser Moderateurre : suite défini sur fonction ( méthode de newton) 25-05-06 à 19:13

En fait, il suffit de montrer que l'intervalle [c,b] est stable par F.

Posté par
mellepapillonre : suite défini sur fonction ( méthode de newton) 26-05-06 à 12:12

Bonjour !

   Merci pour cette réponse qui m'a bien aidée
   Je suis maintenant bloquée un peu plus loin sur une inégalité de Taylor-Lagrange. J'ai réussi à montrer que
| t_1 - c | \leq M \times Sup | \frac{f(x)}{f'(x)^2}| \times \frac{(c-b)^2}{2} alors qu'on demande de montrer que | t_1 - c | \leq \frac{M}{2f'(b)} \times (c-b)^2

C'est le même exercice qu'au dessus et on a trouvé que M est un réel tel que \forall x \in [a,b], f''(x) \leq M et j'ai prouvé que la suite (t_n) converge vers c.

Voilà, je suis un peu perdue pour passer du Sup vers ce qui est demandé.
Merci d'avance pour votre aide,

Melle Papillon

Posté par
raymond Correcteurre : suite définie sur fonction ( méthode de newton) 26-05-06 à 15:11

Bonjour.
Je reprends les notations de ton exercice.
Appliquons la formule de Taylor à l'ordre 2 pour F :
2$\textrm F(b) = F(c) + (b-c)F'(c) + \frac{(b-c)^2}{2!}F''(c+\theta b), 0 < \theta < 1
Comme : F(b) = t1, F(c) = c, F'(c) = 0, il reste :
2$\textrm t_1 = c + \frac{(b-c)^2}{2!}F''(c+\theta b), 0 < \theta < 1,
D'où :
2$\textrm |t_1 - c| = \frac{(b-c)^2}{2!}|F''(c+\theta b)|, 0 < \theta < 1.
La majoration de la dérivée seconde par M te donne le résultat.
Cordialement RR.


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