étudie la fonction f(x)=10^(x-1) - 81*x. Trouve quand elle devient positive et tu pourras utiliser ton hypothèse de récurrence.

Après tu peux traiter les 1ers cas de manière informatique.

merci pour cette indication.
Mais, j'ai bien étudié f, j'ai vu que sur R+, elle devient positive à partir d'un nombre a situé entre 3 et 4, mais je ne vois pas le rapport avec ma récurrence.
J'ai bien montré que H0 est vrai. J'ai supposé que Hp est vérifié et en prenant un x0 plus petit que 10^p+1, je montre que s'il est plus petit que 10^p, c'est OK avec mon hypothèse de récurrence, si x0=10^p+1, c'est OK puisque x1 vaut 1 donc il me reste à étudier les cas où x0 est strictement entre 10^p et 10^p+1. Et là, je suis désolé mais je ne vois pas comment utiliser f. Merci de me mettre sur la voie.

mettons en place ta récurrence :
prenons x entre 10^p et 10^(p+1) :
x=x(1)...x(p+1) en écriture en base 10.
x(1)^2+....+x(p+1)^2 <= (p+1)*9^2 = 81*(p+1).

Or 81(p+1)<10^p.
Don hypothèse de récurrence.

Merci beaucoup. Je n'avais pas pensé à majorer mes chiffres par 9!!! C'est chaque fois pareil, je n'arrive pas à penser à des petites choses qui paraissent toutes simples par après. Encore mille mercis et bon dimanche.
math71