Bonjour quand tu en es à devoir montrer que u²_n+1 =u_n+u_n², c'est immédiat car u²_n+1=u₀+u₁+...+u_n-1+u_n=u²_n+u_n

Oui je suis d'accord, mais il s'agit de l'hérédité. Moi je bloque sur l'initialisation (honte à moi),puisque pour u₁ je trouve deux résultats différents qui normalement devraient être égaux. J'aimerai savoir l'erreur que j'ai commise lors de ce calcul.
Merci pour votre réponse

tu n'as pas besoin d'une démonstration par récurrence.
maintenant si ça t'amuse :
u₀²=a²
u²₁=u₀=a²
u²₂=u₀+u₁=a²+a et on vérifie que c'est bien conforme à la formule u₁+u²₁ qui donne aussi a+a²
tu supposes la formule vraie pour n donc que u²_n+1=u²_n+u_n et tu montres qu'elle est encore vraie pour n+1
Effectivement u²_n+2=u₀+u₁+...+u_n+1=u²_n+1+u_n+1 (puisque par définition u₀+u₁+...+u_n=u²_n+1) et donc la formule est encore vérifiée pour n+1

oui l'erreur c'est que u²₁=a² et pas a

merci j'ai compris mon erreur lors de l'initialisation.
Sinon je n'avais pas fait attention que l'on pouvait le faire directement sans récurrence.

par contre lorsque vous démontrez directement, je ne comprends pas : u²_n+1=u0+u1+...+un-1+un=u²n+un
pourquoi u0+u1+...+u_n-1=un²?

C'est la définition de u_n, , il suffit d'élever au carré.

d'accord, merci pour les explications

Rebonsoir, j'ai des doutes sur mes réponses dans la suite de l'exercice.
On me demande : 1)montrer que .Montrer que u diverge vers +
                2)montrer que et admettent des limites à déterminer

pour montrer que ne converge pas j'ai raisonné par l'absurde :

supposons un instant que u tend vers une limite l. On a à partir d'un certain rang n
= donc = or = donc =+
or >0 et un est croissante donc ceci est absurde donc u ne converge pas.
donc u diverge vers +. (je ne sais pas si cela justifie la divergence vers +)

je trouve lim =1 et lim = est-ce exact?

oui c'est une bonne idée de passer u²_n+1=u_n+u²_n à la limite et que donc s'il y a limite alors L²=L+L²
(il ne faut pas dire que u_n+1=l à partir d'un certain rang, ça n'est pas vrai)
Ça veut dire que U_n n'a pas de limite mais pour montrer qu'il diverge vers l'infini il faut montrer qu'il est croissant. Mais c'est simple, u_n+1-u_n est positif donc u est croissant.

Comment démontres-tu les limites de u_n+1/u_n et u_n+1-u_n ?
je suis d'accord d'ailleurs car (u_n+1/u_n)²=1+1/U_n et si Un tend vers l'infini, c'est que u_n+1/u_n tend vers 1

bonjour, merci pour votre réponse. Pour montrer les limites voila comment j'ai fait :

==

or tend vers + donc ->1

donc =1

ensuite pour la seconde limite :
==1+

or
  
donc     

d'où         

sinon pour la question précédente lorsque me l'on demande de montrer que u ne converge pas. lors du raisonnement par l'absurde on a , comment justifier que est absurde? Pourquoi cela signifie que n'a pas de limite?

si a0 alors par récurrence on montre facilement que les u_n sont strictement positifs (une racine carré est positive ou nulle). Et comme ils sont croissants, ils ne peuvent pas tendre vers 0. (par contre si a=0 alors les u_n sont tous nuls et la suite converge vers 0)

On sait que s'ils ont une limite alors cette limite doit respecter l=0, or on montre que l=0 n'est pas possible (sauf pour a=0) et donc on en déduit qu'ils n'ont pas de limite. S'ils n'ont pas de limite et qu'ils sont croissant, ils tendent vers l'infini (car s'ils étaient majorés, ils seraient croissants et majorés donc ils auraient une limite). Et s'ils ne sont pas majorés, ils tendent vers l'infini.

ok merci pour votre aide

salut,
pour la deuxieme limite je ne suis pas d'accord et puis tu as fais erreur de calcul(à mon avis)
Un+1 - Un = Un/(Un+1 + Un) = 1-(Un+1/Un+1+Un)
et lim Un+1/Un+1 + Un = 1
donc lim Un+1 - Un = 0
et c'est logique vu que Un et Un+1 sont adjacentes

non u_n+1-u_n=u_n/(_un+1+u_n)=1/((u_n+1/u_n)+1) donc si u_n+1/u_n tend vers 1 alors u_n+1-u_n tend bien vers 1/2

Elles ne sont pas adjacentes, elles divergent

ahh oui c'est vrai sorry

par contre j'ai en effet fait une erreur dans le recopiage, mais cela ne change pas le résultat