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Niveau maths sup
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Suite définie par récurrence

Posté par
Martine35
12-08-17 à 18:53

bonjour, je cherche à montrer que la suite définie par :

u_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{u_n+1}{2(u_n+\frac{1}{2})} et u_0>0 converge. L'indication est de calculer u_{n+1}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2})(u_n-1/\sqrt{2})}{2(u_n+1/2)} mais je ne vois pas en quoi ça m'aide. ( je comprends que si elle converge, la limite est 1/\sqrt{2}) Le problème est que la suite n'est pas croissante ou décroissante.

merci de votre aide

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 19:02

Bonjour,

Dans ce cas, tu dois avoir ça plutôt: u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2u_n+1}

Posté par
Martine35
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 19:12

Il y a un 1/2 en trop dans la définition en effet

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 19:29

salut,
essaie de majorer la valeur absolue du premier membre

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 21:02

Si tu l'écrivais ainsi:
u_{n+1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2u_n+1}. \left (u_n-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )=q_n\left (u_n-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )

Que pourrais tu dire de q_n, puis de u_n

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 21:10

Supplément:

Quand tu auras finis, pourrais tu continuer l'exercice en posant: 
 \\ \dfrac{1}{v_n}=u_n-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, puis trouver l'expression de v_{n+1} en fonction de v_n?

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 21:35

pour moi (hors sujet)
sol:=rsolve(u(n+1)=(u(n)+1)/(2*u(n)+1),u(n),u(0)=a)[0];
limite(sol,n,inf);
graphe_suite((x+1)/(2x+1),0.7,10);

Posté par
larrech
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 22:01

Bonsoir,

Sauf erreur, on a

\Large{\mid\frac{u_{n+1}-\frac{1}{\sqrt2}}{u_{0}-\frac{1}{\sqrt2}}\mid=\mid\frac{1-\sqrt2}{2}\mid}^{n+1} \prod_ {i=0}^n\frac{1}{u_ i+\frac{1}{2}}}

et les u_ i sont positifs, d'où en majorant...

Posté par
carpediem
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 22:28

salut

on remarquera que la suite est positive ...

et je pose r=\dfrac 1 {\sqrt 2}

Razes @ 12-08-2017 à 21:02

Si tu l'écrivais ainsi:
u_{n+1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2u_n+1}. \left (u_n-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )=q_n\left (u_n-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )

Que pourrais tu dire de q_n, puis de u_n


donc :

|u_{n + 1} - r| = (\sqrt 2 - 1) \dfrac 1 2 \dfrac {|u_n - r|} {u_n + 1/2} \le (\sqrt 2 - 1) \dfrac 1 2 \dfrac 1 2 |u_n - r| < \dfrac 1 4 |u_n - r|

...

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 22:40

Bonsoir carpediem,

Il y a peut un \frac{1}{2} de trop. Sauf bien entendu à partir d'un n_0 à déterminer. Car ce qu'ont sait est que  u_0>0

2u_n+1\geqslant 1 ;\left |1-\sqrt{2}  \right |< \frac{1}{2} \Rightarrow \left | q_n \right |< \frac{1}{2}

Posté par
carpediem
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 22:47

oui ... je me suis mélangé les pinceaux ...

u_n > 0 => \dfrac 1 {u_n + 1/2} < \dfrac 1 {1/2} = 2

donc |u_{n + 1} - r| \le (\sqrt 2 - 1) |u_n - r| est mieux ....

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 12-08-17 à 23:05

les neurones de Martine35 ne risquent pas l'epuisement

Posté par
Martine35
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 12:15

Merci de votre aide

Posté par
carpediem
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 12:33

de rien

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 12:34

Que voilà une vraie discussion

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 12:59

Bonjour,

Martine35 est nouvelle sur le forum, espérons que la prochaine fois, elle participera à la résolution de ses exercices.

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 14:44

peut-etre a-t-elle trouve mieux ailleurs ?

Posté par
alb12
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 14:45

on pourrait la faire participer à l'elaboration de la future loi travail.
De l'art de faire travailler les autres ...

Posté par
Razes
re : Suite définie par récurrence 15-08-17 à 15:12

Bonne idée, ou écrire le théorème de la "moindre action".

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