Salut !

je proposerai de ce lancer comme toujour devant ce type de probleme dans la recherche d'un dévelopement assymptotique suffisement précis de an.


an = intégral de O a +infinit de n^(-1/3)/(1+t^3/n)^n en faisant le changement de variable t'=t*n^(-1/3)

hors, 1/(1+t^3/n)^n -> exp(-t^3) en décroissant, donc on a aucun mal à justifier que l'intégral de 1/(1+t^3/n)^n -> intégral de exp(-t^3)


(convergence dominé, ou convergence monotone...)

d'ou an ~n^(-1/3) *intégral(exp(-t^3))

donc la somme des an diverge par comparaison aux series de rieman.


mais il y a peut-etre plus simple en étudiant les sommes partielle et en y remarquant une serie géométrique (je prouve ici un résultat trop précis...)

salut Ksilver
ta méthode marche bien. je n'y avais pas pensé. le changement devariable est subtile il faut dire ;p
merci bien.

une dernière chose
on me demande ensuite de montrer que
(an)/n est convergente
et de trouver ensuite sa limite
je montre la convergence et pour la limite je procède de la manière suivante
S:=(an)/n
et
(an)/n=1/[n*(1+t^3)^n]=(1+t^3)^(-n)/n
et on reconnait un développement en série entière de ln(1-x) a condition de justifier l'inversion de la limite et de la somme.
quoi qu'il en soit je trouve a la fin que la limite de la série est égale a l'intégrale suivante
-ln(1-1/(1+t^3)):les bornes étant 0 et +
je sais que cet intégrale vaut (2/3)**sqrt(3) (merci maple)
mais je n'arrive pas a le montrer.
merci de me donner une piste.