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Suite des coefficients d'un polynôme scindé

Posté par
Berrnard 31-12-11 à 18:53

Bonjour,

Je suis tombé complètement par hasard sur un petit problème sur les polynômes (oral ENS ulm 2007 apparemment) qui me pose bien des soucis. En voici l'énoncé:

Existe-t-il une suite (an)n≥0 de réels tels que pour tout n, le polynôme
a0 + a1X + · · · + anXn ait exactement n racines réelles distinctes ?

J'ai retourné le net et ai réussi à mettre la main sur une explication (http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=23338) et même une démonstration (http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/432659-suite-coefficients-dun-polynome-scinde.html). Hélas ma compréhension de:
1) l'explication s'arrête au TVI
2) la démonstration bute à la construction de xm

J'espère ne pas créer un sujet superflu ou pire qui existe déjà, et je m'en excuse d'avance si ça s'avérait être le cas.
Quoiqu'il en soit, j'apprécierais fortement une démonstration ou une explication point par point!

Merci à ceux qui prendront le temps de me dépatouiller ça!

Bernard

Posté par
DHilbertre : Suite des coefficients d'un polynôme scindé 31-12-11 à 19:49

Tu pourras aussi voir ici .

A +

Posté par
ferencre : Suite des coefficients d'un polynôme scindé 31-12-11 à 19:59

oui pour l'existence: prend juste a_n=1,\forall n mais tu n'auras pas que \forall (a_n)_{n=0}^\infty\subset\R que a_0+a_1X+...+a_nX^n est scindé !
En revanche si tu travailles dans l'anneau \C[x], tu auras que \forall (a_n)_{n=0}^\infty\subset \C, a_0+a_1X+...+a_nX^n sera scindé !!

bonne année ^^

Posté par
DHilbertre : Suite des coefficients d'un polynôme scindé 31-12-11 à 21:32

@Ferenc : Non !!! Ce n'est pas bon. Je te prierai de relire l'énoncé exact.

A +

Posté par
ferencre : Suite des coefficients d'un polynôme scindé 31-12-11 à 21:47

merci DHilbert !!!
en effet, si a_n=1,\forall n c'est tout le contraire, le polynôme a une unique racine dont la multiplicité est n. Donc ne prête pas attention à ce que je t'ai dit !!!
bonne année quand même

Posté par
alainpaulre : Suite des coefficients d'un polynôme scindé 02-01-12 à 10:52

A tous BONNE ANNEE!


"Construire un polynôme de degré n dont
toutes les racines sont réelles et distinctes".

\Delta > 0  , \\ p_2(x) = x^2+ax-|b|
b réel .

p_3(x) = x^3+(a+c)x^2+(ac-|b|)x-c|b| \\ p_4(x) = x^4+(a+b)x^3+(ab-|a|-|b|)x^2-(a|a|+b|b|)x+|ab|  

...

Alain


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