Bonsoir thibaut-91;
(*)L'unicité ne pose pas de problème:
tu supposes qu'il en existe une autre et tu montre par récurrence que
c'est déjà vrai pour puisque
(je te laisse continuer)

Merci beaucoup de l'aide elhor_abdelali mais je vois pas comment je peux mener ma récurence.
En effet, je dis:
Soit Bk et Ck vérifiant les propriétés, montrons que Bk=Ck.
j'écris donc les hypothèses mais je suis coincé je ne sais pas comment je peux avancer.
Merci d'avance

On m'a parlé d'utiliser un hyperplan, mais je dois avouer que je ne vois pas comment un hyperplan peut avoir un lien avec cette démonstration. Si quelqu'un peut m'aider, ça serait très gentil. Merci d'avance

Un polynôme dont on connait la dérivée est défini à une constante près a(n):
si Bn-1(x)= a(0)x^(n-1)+...+a(n-1), alors Bn(x)=a(0)x^n+...+na(n-1)x+a(n). Et la valeur de cette constante est fixée par l'intégrale: a(0)/n+...+na(n-1)/2+a(n)=0
d'où l'unicité

au début de la récurrence on a a(0)=1, et comme a(0) reste le coefficient du terme de plus haut degré....

Supposons que pour un certain et montrons qu'alors
comme on voit que et donc que les deux polynomes et diffèrent d'une constante (puisqu'ils ont mm dérivée) soit alors tel que on ait .
en intégrant sur [0,1] on a que:
ie ie et voilà on a bien montré que
CQFD

Une petite erreur de frappe,lire plutot:
ie ie

Bonsoir Elhor

Bonjour kachouyab