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suite equivalente

Posté par rust (invité) 30-11-05 à 19:31

bonjour,

je dois faire un exercice où je dois trouver des suitesequivalente a certaines suites, mais je n'y arrive pas.
Y a-t-il une méthode ?

Posté par rust (invité)re : suite equivalente 30-11-05 à 19:40

par exemple, une des suites est :

un=ln(n+sqrt{n^2+1})

Merci de votre aide

Posté par peej (invité)re : suite equivalente 30-11-05 à 21:01


la définition la plus précise de deux suites équivalentes est la suivante :

u(n)=v(n)(1+\epsilon(n))

où \epsilon(n) tend vers 0.
En gros ca veut dire que u(n)/v(n) tend vers 1.

Alors dans ton cas, il me semble qu'il suffit de sortir un n et de faire deux développements limités pour conclure (mais je dis ca rapidement, donc ca reste à vérifier).

Je dirais qu'un équivalent simple en +\infty est ln(n)+ln(2) (si mes calculs de tête sont bons )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite equivalente 30-11-05 à 23:17

Bonsoir;
2$\fbox{(\forall n\ge2)\hspace{5}\frac{u_n}{ln(n)}-1=\frac{ln(1+sqrt{1+\frac{1}{n^2}})}{ln(n)}\{{\to0\\n\to+\infty} d'où 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\frac{u_n}{ln(n)}=1} Conclure.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par peej (invité)re : suite equivalente 30-11-05 à 23:48

Euh elhor je pense qu'il te manque le + ln(2)

La vérification en images :

u(1000)=ln(1000+\sqrt{1000^2+1})
          ln(2000)
           =ln2+ln(1000)

on voit clairement sur un exemple que ln(n) + ln(2) tend vers u(n)



Alors que u(n)>ln(2n), donc u(n)-ln(n)>ln(2) donc ln(n) ne peut être un équivalent à u(n)


Pour la démo :

u(n)=ln(n)+ln(1+(1+n^{-2})^{1/2})
      =ln(n)+ln(1+(1+o(1/n)))
      =ln(n)+ln(2+o(1/n))
      =ln(n)+ln(2)+ln(1+o(1/n))
      =ln(n)+ln(2)+o(1/n)
      =(ln(n)+ln(2))(1+o(1/n)/(ln(n)+ln(2))
      =(ln(n)+ln(2))(1+\epsilon(n))

en utilisant deux développements limités en +

Voila

Posté par
stokastikre : suite equivalente 30-11-05 à 23:50


Ce ln(2) est inutile. Si deux suites un et vn qui tendent vers +l'infini sont équivalentes, alors pour toute constante K, les suites un+K et vn  sont équivalentes.

Posté par peej (invité)re : suite equivalente 30-11-05 à 23:56

euh tu es sur ???

Alors la suite u(n)=1 et la suite v(n)=2=u(n)+1 sont équivalentes pour toi ?

Mais peut-etre je me trompe...

Posté par
stokastikre : suite equivalente 30-11-05 à 23:59


Non, j'ai dit : deux suites un et vn qui tendent vers +l'infini

Posté par
stokastikre : suite equivalente 01-12-05 à 00:02


D'ailleurs tu vois bien que

\ln 200000=\ln 2 + \ln 100000\approx \ln 100000 (\ln 2 est "négligeable" devant \ln 100000)

Posté par peej (invité)re : suite equivalente 01-12-05 à 00:10


ah oui ok dsl j'avais mal lu

effectivement on n'a pas besoin de la constante pour satisfaire à la déf


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