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Suite et équation fonctionnelle

Posté par
Yona07
23-11-21 à 00:01

Bonsoir!

Montrer qu'il existe une unique fonction f: [0;+[[0;+[ telle que:
x>0, (f(f(x))=6x-f(x)

----

\text{+Analyse: Considérons la fonction f définie sur }[0; +\infty[ \text{ par: } f(x)=6x-f(f(x)). \\\text{considérons la suite } (x_n)_{n_geq 0} \text{ définie par: }\begin{cases} x_0=x\geq0 \\ x_{n+1}=f(x_n) \end{cases}\\\text{Ainsi, pour tout n }\in \N: x_{n+2}+x_{n+1}-6x_n=0 (*) \\\text{..On détermine } x_n \text{ pour tout n } \in \N. \\\text{L'équation caractériqtique de (*) est } r^2+r-6=0. \text{ Les solutions de celle-ci sont: } r_1=2 \text{ et }r_2=-3. \\\text{Par la suite: } x_n=A2^n+(B-3)^n \trxt{où: } A, B \in \R.\\\text{..On montre que }x_n\geq 0:\\ \text{Initialisation: pour n=0 }, x_0=x\geq 0.\\\text{Hérédité: soit n }\in \N \text{ fixé. Supposons que }x_n\geq 0 \text{ et montrons que }x_{n+1}\geq 0.\\\text{On a: } x_{n+1}=f(x_n)\in [0;\infty[ \\ \text{..Supposons que B }\neq 0 (B<0 \text{ ou }B>0)\\\text{Pour un certain n au voisinage de }+\infty:\\\text{Si } B>0 \text{ et n est impair, alors }x_n<0 \text{ Et si } B<0 \text{ et n est pair alors } x_n<0 \\\text{Or: } x_n\geq 0 \\\text{Donc B=0}\\\text{Ainsi: } x_n=A2^n \text{, pour tout n } \in \N. \\\text{..Déterminons A: pour n=0 }x_0=A=x, \text{ alors: }x_1= f(x_0)=2x=f(x)\text{ c-à-d: } f(x)=2x\text{ où } x\in[0;\infty[

Avant de passer à la synthèse, ce passage:

\text{..Supposons que B }\neq 0 (B<0 \text{ ou }B>0)\\\text{Pour un certain n au voisinage de }+\infty:\\\text{Si } B>0 \text{ et n est impair, alors }x_n<0 \text{ Et si } B<0 \text{ et n est pair alors } x_n<0 \\\text{Or: } x_n\geq 0 \\\text{Donc B=0}

est intuitif. Comment puis-je le formuler mathématiquement avec de bonnes justifications? D'abord, cette intuition est vraie ou fausse?

Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et équation fonctionnelle 23-11-21 à 08:21

Bonjour,
Sujet déjà posé il y a peu :
déterminer une fonction tel que fof(x)=6x-f(x)
Bonne lecture

Posté par
Yona07
re : Suite et équation fonctionnelle 23-11-21 à 13:55

Bonne après-midi Sylvieg!
J'ai lu le poste de disz, mais il ne justifie pas explicitement pourquoi (B:=\lambda)=0. Certes, il a mentionné que u_n va prendre des valeurs négatives si  (B:=\lambda)\neq 0 mais la justification que  je souhaite y aboutir n'est pas faite. Une tentative de ma part:

u_n=2^n A+(-3)^n B\\\;\;\;\;\; =(-3)^n((-\frac{2}{3})^nA+B)\\\text{Pour n assez grand de rang impairs et pour B }>0:\;\; u_n\rightarrow_{n\rightarrow +\infty} -\infty; ((-\frac{2}{3})^n\rightarrow _{n\rightarrow +\infty}0)\\\text{Or: qqsoit }n\in \N, u_n\geq 0 \\\text{Pour n assez grand de rang pairs et pour B } <0:\;\; u_n\rightarrow_{n\rightarrow +\infty} -\infty; ((-\frac{2}{3})^n\rightarrow _{n\rightarrow +\infty}0)\\\text{Or: qqsoit }n\in \N, u_n\geq 0 \text{ (contradiction), d'où B } = 0

C'est bon comme cela?

Posté par
Foxdevil
re : Suite et équation fonctionnelle 23-11-21 à 16:35

Ya de l'idée, même si c'est mal dit et qu'on peut alléger.

Il te suffit simplement de dire que comme (-\frac{2}{3})^n\rightarrow _{n\rightarrow +\infty}0, alors ((-\frac{2}{3})^nA+B) est du signe de B à partir d'un certain rang n_0. Mais vu que parmi les entiers n_0 ou n_0+1, un est pair et l'autre impair, u_{n_0} et u_{n_0 + 1} sont de signes distincts (se voit avec ta factorisation). En particulier, l'un d'eux est strictement négatif...

Posté par
Yona07
re : Suite et équation fonctionnelle 23-11-21 à 20:37

C'est compris ^^! Merci Foxdevil et Sylvieg..



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