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suite et espace métrique
Bonjour !
Soient (X,d) et (Y,
) deux espaces métriques et f :X
Y
une application.
Montrer que f est continue sur X si et seulement si pour toute suite convergente (xn) 
X
, la suite (f(xn)) converge vers f(lim xn).
J'ai essayé de montrer la réciproque :
On veut montrer que :
x0, 
>0, 
>0 / x X, si d(x,x0)< alors (f(x),f(x0))<
On choisit une suite (xn) telle que limxn=x0
On sait deux choses :
>0,
>0/n,si n> alors d(xn,x0)<
>0,
>0/n, si n> alors (f(xn),f(x0))<
Soit >0 quelconque et fixé.
Je sais que :
>0/ n, si n> alors d(xn,x0)<
et que :
>0/ n, si n> alors (f(xn),f(x0))<.
Prenons n>max{,}
J'ai donc :
d(xn,x0)< et
(f(xn),f(x0))<
En posant x=xn j'ai donc :
d(x,x0)< et (f(x),f(x0))<
je peux donc dire :
si d(x,x0)< alors (f(x),f(x0))< ?
salut
incompréhensible ...
et la réciproque est triviale puisque c'est la définition (séquentielle) de la continuité ...
et pourquoi est-ce le même epsilon ?
Bonjour AnneDu60
Continue implique séquentiellement continue : ça c'est vrai dans tout espace topologique.
Pour l'implication inverse, tu montres sa contraposée : tu écris que f est discontinue en x0 et tu montres qu'il existe une suite qui tend vers x0 mais dont la suite image ne tend pas vers f(x0). C'est immédiat sur la définition de la discontinuité d'une fonction définie sur un métrique à valeur dans un métrique.
Cette contraposée ne marche pas pour des espaces topologiques quelconques...
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