Svp à l'aide

Je crois déjà qu'il y a une erreur dans la définition des suites.
Ne serait-ce pas v(n+1)[x]=rac(u(n+1)[x]*v(n)[x]) ?

A non non v(n+1) [x] = racine [ u(n) [x] * v(n) [x] ]
En tout cas  ca marche pour le débur ...
J'avais pensé en fait à montrer que
u[1/x] * x = u[x] et de meme pour v et que donc
f(1/x) * x ) f(x) mais j'arrive pas la démonstration ...

Par contre je prévois que faudra montrer que f(x ) / x est décroissante parce que ça me dit qqch après pour al continuité... enfin j'y arrive pas je fais que des suppositions la
Pourriez vous m'aider?

Si v(n+1) [x] = racine [ u(n) [x] * v(n) [x] ] , puisque u(0)[x] = 0 et v(0)[x] = x, et u(n+1)[x] = 1/2 ( u(n)[x] + v(n)[x] )
alors u(1)[x]=x/2 et v(1)[x]=0 et par une récurrence immédiate
u(n)[x]=x/2^n et v(n)[x]=0 ce qui veut dire que f=0
Donc je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé,

Il s'agit là de la moyenne arithmético-géométrique ou moyenne de Gauss, mais il ne faut pas partir d'une valeur nulle...
De plus, puisque si a et b sont positifs, ab?(a+b)/2
la suite un est décroissante, et la suite vn croissante et elles sont adjacentes

lire racine(ab)<=(a+b)/2

Oups en effet il y a une erreur : u0 = 1 ... et là ca va  mais jusqu'aux suites adjacents j'ai trouvé je suius bloqué à la relation entre l(1/x)= f(1/x) ; l (x) = f(x) et x....
Je suppose que c'est f(1/x) * x = f(x) mais comment le prouver... même la suite je ne compàrends pas

C'est déjà mieux avec le bon énoncé!
Il suffit alors de remarquer que l'on peut échanger u0 et v0 et que si l'on multiplie u0 et v0 par k, tous les un et vn seront également multipliés par k, ainsi que la limite.
On en déduit immédiatement f(x)=xf(1/x) (puisque en partant de (1, x), on a multiplié par x les termes initiaux (1/x, 1)

oui ça d'accord mais en quoi ca m'aide pour le sens de variation de f(x) et de f(x) / x??? et comment j'en déduis les histoires de dérivabilité après? (en tout cas merci )

f est manifestement croissante: si x1<x2, u1(x1)<u1(x2) et v1(x1)<v1(x2)
et par récurrence un(x1)<un(x2) et vn(x1)<vn(x2)
Par ailleurs f(x)/x=f(1/x) donc g(x)=f(x)/x est décroissante
Ceci entraîne la continuité de f pour x non nul puisque pour x<x0 f(x)<f(x0) et g(x)>g(x0) soit f(x0)x/x0<f(x)<f(x0) donc quand x tend vers x0- f(x) tend vers f(x0) Même raisonnement pour la limite par valeurs supérieures
v1(x)=rac(x)  u1(x)=(1+x)/2 , rac(x)<(1+x)/2 (puisque 1+x-2rac(x))=(1-rac(x))^2>0 et les suites un et vn sont adjacentes donc
rac(x)<f(x)<(1+x)/2. Quand x tend vers +inf, f tend vers +inf...
f(1)=1 f(x) est encadré par deux fonctions qui prennent la même valeur que f pour x=1 (à savoir 1), toutes deux dérivables, et dont les dérivées sont égales pour x=1 (et valent 1/2): donc f est dérivable pour x=1 et f'(1)=1/2

eu la récurrence me semble embêtante poour la croissance de f puisque x1 x2 sont des REELS... d'où mon problème... avec mes fonctions on a bien le droit de dire que f(x) > 0 dans ce cas je comprends que g(x) est décroissante
je ne savais pas par contre que si une fonction est encadrée par deux fonctions dérivables qui ont la meme dérivée en a alors cette fonction a cette dérivée en a ....

Pourriez vous m'éclairer? et quel est ce uN qu'il faut choisir pour montrer la continuité en 0? En tout cas merci pour votre patience

la récurrence est sur n, indice des suites un et vn !!!
Si pour tout n un(x1)<un(x2), à la limite f(x1)<f(x2) (les inégalités sont au sens large, mais quand je tape le symbole, ça donne ?)
Pour l'encadrement de la dérivée, il suffit de l'écrire
(rac(x)-1)/(x-1)<(f(x)-1)/(x-1)<((1+x)/2-1)/(x-1)
Les premiers et troisième termes tendent vers les dérivées en 1, et comme elles sont égales...
Je réfléchis à la dernière question...

Pour la continuité de f en 0, on va utiliser la continuité de un(x) en 0 et le fait que un(0)=1/2^n
Donc quel que soit e>0, il existe N tel que uN(0)=1/2^N<e/2. Par ailleurs uN est continue donc il existe X tel que x<X entraine uN(x)-uN(0)<e/2 donc uN(x)<e, et comme f(x)<uN(x),  f(x)<e

a ben merci beaucoup j'avoue que la derniere question j'aurais pas trouvé toute seule ... merci énormément je vais essayer de comprendre tout ca mnt (surtout la fin)
Cordialement