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Suite et Fonction

Posté par
QuentinDelon1 23-01-22 à 11:21

Bonjour, de retour sur le forum une nouvelle fois !

Le sujet :

Soit a fixé On note(u_{n}),n la suite définie par u_{0}=a et pour tout n

u_{n+1}=u_{n}-u_{n}²

Partie 1 :

1) Monter que la suite (u_{n})
admet une limite.

J'ai montré qu'elle était décroissante assez facilement, mais je ne vois pas comment montrer qu'elle est minorée, ici par 0 visiblement !
Un indice ?

2) On introduit la fontion

f:\begin{matrix} R& \rightarrow &R\\ x& \rightarrow &x-x² \end{matrix}

a) Montrer que [0,1] est stable par f.

Ici, on voit que f est croissant sur [0,1/2] et a pour image l'intervalle : [0,1/4] puis f est décroissant sur [1/2,1] et a pour image l'intervalle [0,1/4], est-ce suffisant pour montrer que [0,1] est stable par f.

b) Quels sont les points fixes de f?

J'en ai déduis que seul 0, était un point fixe de f.

Posté par
carpediemre : Suite et Fonction 23-01-22 à 11:27

salut

il est évident que si a < 0 alors la suite n'admet pas de limite ...

prendre par exemple a = -2 ...

f(x) = x(1 - x)

si 0 < x < 1 alors 0 < 1 - x < 1   (avec des inégalités larges)

et le produit de deux nombres de l'intervalle [0, 1] est un nombre de l'intervalle[0, 1]

mais ce que tu fais est suffisant pour conclure : tu montres que f([0, 1)] = [0, 1/4] [0, 1]

...

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 23-01-22 à 11:47

Merci pour le reste !

D'accord ! Je remarque en effet que si a ]0;1[, un admet une limite finie ...
d'où les questions suivantes en même temps (Partie 2 que je n'ai pas encore posté et qui va surement pas tarder )

Mais comment je peux le prouver rigoureusement ?

Posté par
carpediemre : Suite et Fonction 23-01-22 à 12:08

prouver quoi ?

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 23-01-22 à 12:30

Prouver que si a ]0;1[ uniquement, un admet une limite finie ?

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 23-01-22 à 14:56

Je vous envoie la suite :

Partie 2 :

On suppose à présent que a]0,1[. On pose, pour tout n*:

v_{n}=nu_{n} et S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{u_{k}}

4(a)  : Montrer que, pour tout n*:

0\leq u_{n}\leq \frac{1}{n+1}

Ici j'ai essayé de montrer ça par récurrence, en effet en partant de l'hypothèse de récurrence, j'essaie de remonter à l'expression de un+1,  mais j'ai ceci :
u_{n}-\frac{1}{(n+1)²}\leq u_{n+1} \leq u_{n}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 23-01-22 à 16:09

Bonjour

4(a) Comme \normalsize f(]0,1[)=]0,\frac{1}{4}] (vérification facile) on a, \normalsize \forall n\in\mathbb N^*~,~u_n\in]0,\frac{1}{4}] et en particulier 0<u_1<\frac{1}{2}

Supposons par récurrence que 0<u_n<\frac{1}{n+1} pour un certain n\geqslant1.

Alors vu la stricte croissance de f sur [0,\frac{1}{2}] on a f(0)<f(u_n)<f(\frac{1}{n+1}) ...

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 23-01-22 à 21:47

Super j'ai compris merci beaucoup !

Je dois maintenant en déduire la monotonie de vn, mais je ne vois pas comment conclure,
On a un décroissant, et un compris entre 0 et 1, or vn=n*un ! ça semble tout bête mais ça m'échappe !

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 23-01-22 à 21:57

Pour la suite

5(a) Montrer que pour tout n*

u_{_{n}}\geq \frac{u_{1}}{n}


J'ai donc essayé par récurrence, avec une méthode classique et la méthode que vous aviez proposé à la 4a) mais j'arrive au résultat suivant :

u_{_{n+1}}\geq \frac{u_{1}}{n²} ce qui est presque ce que l'on doit obtenir mais je ne peux pas comclure ici l'égalité est trop large !
Une petite aide ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 23-01-22 à 22:17

5(b) On a :

\large \boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~(n+1)u_{n+1}-nu_n=(n+1)(u_n-u_n^2)-nu_n=u_n-(n+1)u_n^2=(n+1)u_n\left(\frac{1}{n+1}-u_n\right)}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 23-01-22 à 22:19

C'était plutôt 4(b) je crois

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 24-01-22 à 12:20

Tout compris!! Merci beaucoup!

Avez vous regardé la 5a)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 24-01-22 à 15:55

La 5(a) est une simple conséquence de la croissance de la suite \large (v_n=nu_n)_{n\geqslant1}

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 24-01-22 à 20:57

Ah mais c'était évident !

Je posterai la suite ici si jamais !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 24-01-22 à 21:17

J'attends la suite

Posté par
QuentinDelon1re : Suite et Fonction 25-01-22 à 22:06

Le reste  a été résolu merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et Fonction 25-01-22 à 22:22

C'est un plaisir


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