Bonjour, de retour sur le forum une nouvelle fois !
Le sujet :
Soit a fixé On note,n la suite définie par et pour tout n
Partie 1 :
1) Monter que la suite ()
admet une limite.
J'ai montré qu'elle était décroissante assez facilement, mais je ne vois pas comment montrer qu'elle est minorée, ici par 0 visiblement !
Un indice ?
2) On introduit la fontion
a) Montrer que [0,1] est stable par f.
Ici, on voit que f est croissant sur [0,1/2] et a pour image l'intervalle : [0,1/4] puis f est décroissant sur [1/2,1] et a pour image l'intervalle [0,1/4], est-ce suffisant pour montrer que [0,1] est stable par f.
b) Quels sont les points fixes de f?
J'en ai déduis que seul 0, était un point fixe de f.
salut
il est évident que si a < 0 alors la suite n'admet pas de limite ...
prendre par exemple a = -2 ...
f(x) = x(1 - x)
si 0 < x < 1 alors 0 < 1 - x < 1 (avec des inégalités larges)
et le produit de deux nombres de l'intervalle [0, 1] est un nombre de l'intervalle[0, 1]
mais ce que tu fais est suffisant pour conclure : tu montres que f([0, 1)] = [0, 1/4] [0, 1]
...
Merci pour le reste !
D'accord ! Je remarque en effet que si a ]0;1[, un admet une limite finie ...
d'où les questions suivantes en même temps (Partie 2 que je n'ai pas encore posté et qui va surement pas tarder )
Mais comment je peux le prouver rigoureusement ?
Je vous envoie la suite :
Partie 2 :
On suppose à présent que a]0,1[. On pose, pour tout n*:
et
4(a) : Montrer que, pour tout n*:
Ici j'ai essayé de montrer ça par récurrence, en effet en partant de l'hypothèse de récurrence, j'essaie de remonter à l'expression de un+1, mais j'ai ceci :
Bonjour
4(a) Comme (vérification facile) on a, et en particulier
Supposons par récurrence que pour un certain .
Alors vu la stricte croissance de sur on a ...
Super j'ai compris merci beaucoup !
Je dois maintenant en déduire la monotonie de vn, mais je ne vois pas comment conclure,
On a un décroissant, et un compris entre 0 et 1, or vn=n*un ! ça semble tout bête mais ça m'échappe !
Pour la suite
5(a) Montrer que pour tout n*
J'ai donc essayé par récurrence, avec une méthode classique et la méthode que vous aviez proposé à la 4a) mais j'arrive au résultat suivant :
ce qui est presque ce que l'on doit obtenir mais je ne peux pas comclure ici l'égalité est trop large !
Une petite aide ?
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