La définition d'une suite étant très large, dans le cas général, il est clair qu'on ne peux pas trouver une telle description pour la plupart des suites.
Le problème de la question est de savoir quelles suites on prends en compte.

Voici quelques résultats interessants pou commencer. Une suite est par définition un ensemble dénombrable indicé d'éléments d'un ensemble (). En gros, c'est l'ensemble {U1,U2,...}={Uk, k entier naturel}. Je prends k entier naturel mais on pourrait prendre des entiers relatifs ou encore d'autres choses... Bref, ca revient à les numéroter par des entiers naturels puisque on considère que le cardinal de la suite est égal à celui de N.

Bon bon bon, il est clair que ceci n'est pas très interessant comme définition puisque cela ne nous donne aucunes indications sur l'élément Un. Donc, dans le cas général, il est clair qu'une suite n'est pas définissable par Un=f(n) (et même pas forcément définissable par récurrence).
Alors, même si on est un peu déçu, on peu essayer de trouver des choses interessantes dans des cas relativement généraux. Supposons que l'on considère non pas des suites de R (qui est non dénombrable), mais des suites dans un ensemble dénombrable.. Dans ce cas, on peux montrer très rapidement (je ne le fais pas ici, mais ca prends cinq lignes) que l'ensemble des éléments de la suite est un ensemble récursivement énumérable. donc, en utilisant le théorème DPRM (Davis-Putnam-Robinson-Matijasévic... vénérons-les), on peux dire que cet ensemble est diophantien. Bref : on peux trouver un polynôme sur Z tel que {Un, n entier naturel}={P(x1,...,xk)>0|(x1,...,xk) entiers naturels}.
Bon, théoriquement c'est joli, mais en pratique c'est pas utile. Remarquons juste que ce fameux théorème implique qu'il existe un polynôme sur Z dont l'ensemble des valeurs strictement positives est l'ensemble des nombres premiers (pour ceux que ca interesse, plusieurs polynômes de ce type ont été trouvés... Le plus connu est un polynôme à 26 variables de degré 30 environ... Bref pas utile pour trouver des nombres premiers.)


Bon, après ca dépends de la définition.
Tu peux prendre toute suite définie par Un+1=f(Un,Un-1,...,Un-k) pour tout k.
Bref, les suites définissables par une relation de récurrence.
Dans ce cas, la suite est définie par les valeurs des k+1 premiers termes.
Ensuite, on a Uk+1=f(Uk,...,U0),etc...

En supposant que l'on puisse écrire tous les termes jusqu'à n par un fonction (nommons-la t(k)), on aura :
f(Un,...,Un-k)=f(t(n),t(n-1),...,t(n-k)) qui est une fonction de n (puisque k est fixé dès la définition de la suite).
Donc, la fonction t(n) doit vérifier une relation de récurrence :

t(n+1)=f(t(n),...,t(n-k)) pour tout n.
Une telle fonction existe forcément puisqu'on peux la définir par la relation au-dessus. Mais cela ne sers strictement à rien, puisque cela revient à tourner en rond (la définition de la suite donne la définition de la fonction qui donne la définition de la suite, etc...)
Bref, ce qui est interessant c'est quand une telle equation admet comme solution une fonction usuelle. Mais ca dépends de pas mal de paramètres tout ça...

Après, pour savoir si on peut "démontrer qu'on pourra trouver le terme général de telle suite et pas d'une autre". Ben... Il faut se donner l'équation fonctionnelle de dessus et essayer de la résoudre...
Bon, la plupart du temps, on a des méthodes, comme celle utilisée pour les suites du type Un+2 = aUn+1 + bUn.
Mais après dans le cas général, il s'agit de la résolution d'une équation. Et bon... On peux pas toujours avoir de résultats pratiques.
Peut-être peut-on trouver des théorèmes sur les fonctions à valeurs entière qui aiderait à simplifier la résolution... je ne sais pas.

Voilà...
En espérant que ma réponse n'est pas trop incomplète ni inutile.
Ce qui est sûr c'est que dans la plupart des cas, notre fonction ne peux pas se définir de manière simple par son terme général.
Après, dans les cas particuliers, ben... ca dépends du cas particulier. Il n'existe pas de méthode de résolution générale des équation de degré k pour tout k... On peux donc supposer que ce résultat est également vrai pour les équations fonctionnelles .

Nightmare,

C'est avec la "théorie de Galois différentielle" que l'on prouve que certaines fonctions n'admettent pas de primitive sous forme d'une composée de fonctions usuelles. Ici tu auras des infos : .

Ta question pour les suites serait : peut-on exprimer le -ième terme de cette suite comme une fonction de ? Il doit bien y avoir toujours un moyen de construire une fonction qui passe par un nombre dénombrable de points , non ?

Si c'est bien le cas, on peut encore se demander  si on peut exprimer le -ième terme de cette suite comme une fonction de composée de fonctions usuelles. Je ne sais pas.

Re Bonjour

Tout dabord merci à vous deux. Darwin j'ai bien compris ton explicatio,ça peut être un début d'idée.
Stokastik, tu as mis dans le mille : "si on peut exprimer le -ième terme de cette suite comme une fonction de composée de fonctions usuelles" c'est ça que je voudrais savoir expliquer.

Pour la théorie de Galois différentielle oui effectivement, comme je l'ai dit j'avais vu un article sur le sujet et un autre un peu plus complet.

Merci encore. Si quelqu'un à donc des informations sur la problématique qu'a dégagé Stokastik qu'il n'hésite pas.


Jord

Ok. Tout ce que je peux faire, c'est poser la question sur ce forum dont je t'ai donné le lien plus haut. Je te tiens au courant.

Daccord merci

Je vais essayer de rechercher quelque chose qui pourrait nous aider sur le net.

Nightmare, tu peux suivre la discussion que j'ai lancée sur le forum de Futura Science ici :