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Suite et intégrale.

Posté par
matheux14
12-05-21 à 22:44

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e2.
On définit , pour tout entier naturel n\ge 1 , l'intégrale I_n=\int_0^{2}\dfrac{1}{n!}(2-x)^{n}e^x ~ dx.
1) Calculer I1.

Suite et intégrale.
Suite et intégrale.

Réponses

1) I_1=\int_0^{2} \dfrac{1}{1!}(2-x)^{1}e^{x}~dx

I_1=\int_0^{2}(2-x)e^{x}~dx

I_1=\left[2e^x-e^x(x-1)\right]_0^{2}

I_1=e^{2}-3

2) Je n'y arrive pas.

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 12-05-21 à 23:27

Bonjour,

1) Résultat correct. (Une intégration par parties ?)

2) Je pense qu'il est clair que l'intégrande est positive sur [0,2]

Toujours sur [0,2], \dfrac{1}{n!}(2-x)^ne^x\leq \dfrac{1}{n!}2^ne^x

Donc ?

Posté par
LeHibou
re : Suite et intégrale. 12-05-21 à 23:30

Bonsoir,

Sur [0 ; 2], on a (2-x)n 2n
On peut donc majorer facilement l'intégrale In par \frac{2^n}{n!}\int_{0}^{2}{e^x}dx

Posté par
LeHibou
re : Suite et intégrale. 12-05-21 à 23:31

Bonsoir lake, je te laisse le champ libre

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 12-05-21 à 23:41

Bonsoir LeHibou

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 00:05

Donc \int_0^{2}\dfrac{1}{n!}(2-x)^ne^x\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{n!}2^ne^x
 \\

I_n \le  \int_{0}^{2} \dfrac{1}{n!}2^ne^x

I_{n} \le \left[\dfrac{2^n}{ n !}e^{x}\right]_{0}^{2}
 \\

I_{n} \le \dfrac{2^{n}}{ n !}(e^2-1)
 \\

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 00:07

Oui, n'oublie pas les \text{d}x

Mais en doutais-tu ?

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 00:18

Un peu..

3) Je fais comment ?

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 00:27

3) Comme on te l'indique : une intégration par parties en partant de I_{n+1} et en posant :

   u=(2-x)^{n+1} et v'=\text{e}^x

  sans oublier le coefficient \dfrac{1}{(n+1)!}

Tu commences à me connaître : il faut que je dorme: bonne nuit

PS : essaie de ne pas me faire mentir ici : Isométries (Composée de rotation)

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 11:55

3)\forall n \ge 1 , I_{n+1}=\int_0^{2}\dfrac{1}{(n+1)!}(2-x)^{n+1}e^{x}~dx

I_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\int_0^{2} (2-x)^{n+1}e^{x}~dx

Posons u(x)=(2-x)^{n+1} et v'(x)=e^{x}

I_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\left(\left[u(x)v(x)\right]_0^{2}-\int_0^{2}u'(x)v(x) ~dx\right)

I_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\left(\left[e^x(2-x)^{n+1}\right]_0^{2}-\int_0^{2} -(n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)

Mais j'ai du mal à trouver une primitive de -(n+1)(2-x)^{n}e^{x}

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 12:02

Mais en développant tu as un \dfrac{1}{n!}  qui apparait

soit \int_0^2\dfrac{1}{n!}(2-x)^ne^x\,\text{d}x

Tu ne reconnais rien ?

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 12:35

I_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\left(\left[e^x(2-x)^{n+1}\right]_0^{2}-\int_0^{2} -(n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)
 \\

I_{n+1}=-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+1)!}\int_0^{2} -(n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)

I_{n+1}=-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+1)!}\int_0^{2} (n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)

I_{n+1}=\int_0^{2} \dfrac{1}{(n+1)!}(n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

I_{n+1}=\int_0^{2} \dfrac{1}{(n+1)×n !}(n+1)(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

I_{n+1}=\int_0^{2} \dfrac{(2-x)^{n}e^{x}}{n !}~dx\right)-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

I_{n+1}=\int_0^{2} \dfrac{1}{n !}(2-x)^{n}e^{x}~dx\right)-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

I_{n+1}=I_n-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 12:47

Mais oui mais encore une fois : en doutais-tu ?

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 12:58

Non , j'ai pas eu l'idée de développer voir..

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 21:52

4) Soit Pn : << e²=1+\dfrac{2}{1 !}+\dfrac{2²}{2!}+...+\dfrac{2^{n}}{n !}+I_n >>

*1+\dfrac{2}{1 !}+I_1=1+2+e²-3=e² ; c'est P1 vraie.

* Soit k \in \N* , supposons que Pk vraie c'est à dire  e²=1+\dfrac{2}{1 !}+\dfrac{2²}{2!}+...+\dfrac{2^{k}}{k !}+I_k et démontrons que Pk+1 vraie.

1+\dfrac{2}{1 !}+\dfrac{2²}{2!}+...+\dfrac{2^{k+1}}{(k+1)!}+I_{k+1}=1+\dfrac{2}{1 !}+\dfrac{2²}{2!}+...+\dfrac{2^{k+1}}{(k+1)!}+I_k-\dfrac{2^{k+1}}{(k+1)!}

=1+\dfrac{2}{1 !}+\dfrac{2²}{2!}+...+I_k

=e² car Pk vraie.

Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

Conclusion : Pn vraie \forall n \in \N*

5-a) Pour tout n \ge 1 , u_{n}=\dfrac{2^{n}}{n !}

*u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}

*u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{2^{n}×2}{(n+1)×n!}

=\dfrac{2^{n}}{n!}×\dfrac{2}{n+1}

=u_n×\dfrac{2}{n+1}

Pour tout entier naturel n ≥ 3 ==> n+1 ≥ 4 ==> \dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{4}

==> \dfrac{2}{n+1} \le \dfrac{1}{2}

==> u_{n+1}=u_n×\dfrac{2}{n+1} \le u_n×\dfrac{1}{2}

==> u_{n+1} \le \dfrac{1}{2}u_n

5-b) ; 6 et 7) Je bloque

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 13-05-21 à 22:39

Pour 5)b) tu peux aussi faire une récurrence en utilisant 5)a) pour l'hérédité.

6) Rappelons (question 2)) que 0\leq  I_n\leq \dfrac{2^n}{n!}(e^2-1)

7) Tu réfléchis.

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 15-05-21 à 15:58

Bonjour ,

5-b) En déduisons que \forall n \ge 3 , 0 \le u_n \le u_3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}.

Soit P_n : << 0 \le u_n \le u_3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3} >> ; \forall n \ge 3

On a : u_3 =\dfrac{2^{3}}{3 !}=\dfrac{4}{3}

Donc 0 ≤ u3.

Mais erreur de l'autre côté de l'inégalité.. car u_3 \ge u_3 ×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3} si n \ge 3..

Posté par
lake
re : Suite et intégrale. 15-05-21 à 16:16

Bonjour,

  

Citation :
Mais erreur de l'autre côté de l'inégalité.. car u_3 \ge u_3 ×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3} si n \ge 3


Pour l'initialisation, n=3

Posté par
matheux14
re : Suite et intégrale. 15-05-21 à 17:00

Ah oui ,

Merci



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