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Suite et pgcd

Posté par
Theo92 19-11-13 à 00:40

Bonsoir,

Pour tout n\geq2, on définit u_n=u_{n-1}^2-2.
On donne u_1 impair. Je réussis à montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^*, u_n est impair car un carré d'entiers impairs est impair.

On demande ensuite de montrer que pour n\geq2, on a pgcd(u_n,u_{n-1})=1.

Puis pour tout n\geq3, u_n - 2 = u_{n-2}^2u_{n-3}^2.....u_1^2(u_2-2).

Je suis bloquée, après plusieurs essais non concluants à partir de u_n - 2 = u_{n-1}^2-4 par exemple.

Je vous remercie par avance de vos indications.

Posté par
WilliamM007re : Suite et pgcd 19-11-13 à 00:42

Bonsoir.

Tu pourrais utiliser Bézout et la parité de un.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 19-11-13 à 00:52

Bonsoir WilliamM007,

merci de ta réponse.

Est-ce que je dois prouver que a.u_n + b.u_{n-1}=1 ?

Je pensais pour anticiper la 3ème question passer par la décomposition en facteurs premiers, mais je n'y arrive pas.

Posté par
Razesre : Suite et pgcd 19-11-13 à 01:38

Vous avez :
u_{n}=u_{n-1}^{2}-2

Donc : u_{n}-2=u_{n-1}^{2}-4=\left (u_{n-1}+2  \right )\left ( u_{n-1}-2\right )

et

u_{n-1}=u_{n-2}^{2}-2

D'où
u_{n}-2=u_{n-2}^{2}\left ( u_{n-2}^{2}-4 \right )
Puis vous continuez..

Posté par
Razesre : Suite et pgcd 19-11-13 à 01:42

Pour la question imparité, vaut mieux le faire par récurrence et prouver que chaque fois vous avez une forme de 2p+1

Posté par
Razesre : Suite et pgcd 19-11-13 à 01:59

Pour le pgcd procédons par l'absurde:

Supposons que u_{n} et u_{n+1} ont un pgcd de forme 2p+1;

posez u_{n}=\left ( 2p+1 \right )v_{n}  

posons l'équation et mettons en facteur 2p+1 Nous avons une absurdité, donc ce n'est pas possible.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 19-11-13 à 02:01

Merci beaucoup Razes.

Je suis partie dans le même sens que vous mais je n'avais pas remplacé u_{n-1} dans le premier terme de l'identité remarquable, seulement dans le second.

Je vais faire également une récurrence où je me sens plus à l'aise.

Merci encore et bonne nuit.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 19-11-13 à 13:12

Je suis désolée, mais je ne parviens pas à exhiber l'impossibilité.

Si u_{n-1}=(2p+1)v_{n-1}, on a obligatoirement v_{n-1} impair, et u_{n-1}^2 -2 est bien impair comme u_n.

Je ne trouve pas ce qui permet d'affirmer que p est nécessairement nul.

Merci par avance si vous pouvez m'indiquer une piste.

Posté par
kybjmre : Suite et pgcd 19-11-13 à 15:26



Le pgcd dn de |un| et de |un-1| divise u²n-1  - un = 2 , donc dn = 1 ou 2 .
Si , pour tout n , un est impair ...

Posté par
Razesre : Suite et pgcd 19-11-13 à 16:16

Effectivement, il faut remplacer seulement le premier terme de l'identité remarquable, remplacer le second terme par l'indice n-2

u_{n}-2= \left (  u_{n-1}+2\right )\left ( u_{n-1}-2 \right )=\left (  u_{n-1}+2\right )\left ( u_{n-2}^{2}-2-2 \right )=\left (  u_{n-1}+2\right )\left ( u_{n-2}^{2}-4 \right )

Nous avons : u_{n-1}+2=u_{n-2}^{2}

Pour \left ( u_{n-2}^{2}-4 \right ) faisons la même chose jusqu'à u_{2}


Pour le pgcd supposons qu'il en existe un que nous notons 2p+1 avec p\geq 0
Posons u_{n}=(2p+1)v_{n}

l'équation u_{n}=u_{n-1}^{2}-2 devient (2p+1)v_{n}=(2p+1)^{2}v_{n-1}^{2}-2

d'où (2p+1)\left ((2p+1)v_{n-1}^{2}-v_{n}  \right )=2

Le second membre est paire, le seul cas possible pour 2p+1 donc p=0 donc le seul pgcd est 1.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 19-11-13 à 20:00

Merci beaucoup à tous les 2 pour votre aide précieuse.
Si en premier lieu je faisais moins d'erreur de signe, cela irait mieux.

Cordialement

Posté par
freniclere : Suite et pgcd 19-11-13 à 20:43

Bonsoir,

On peut aussi utiliser Bezout.

a_{n-1} est impair et s'écrit donc a_{n-1}=2p+1 pour un certain entier p.

On a alors a_n=a_{n-1}^2-2=4p^2+4p-1.

Comme

p(4p^2+4p-1)-(2p^2+p-1)(2p+1)=1

c'est-à-dire

pa_n-(2p^2+p-1)a_{n-1}=1

a_{n-1} et a_n sont premiers entre eux.

Posté par
WilliamM007re : Suite et pgcd 19-11-13 à 21:27

Bonsoir.

Par Bézout j'entendais en fait la généralisation de Bézout :
au+bv=d si et seulement si pgcd(a,b)|d
En particulier pour d=1, si pgcd(a,d)|1 alors il vaut 1, d'où le théorème de Bézout plus connu avec 1.

Ici, U(n-1)²-Un=2, c'est donc que le pgcd divise 2. Or il ne peut être égal à 2, car U(n-1) et Un sont impairs. Donc...

Posté par
freniclere : Suite et pgcd 19-11-13 à 23:41

Oui mais ça m'amusait de chercher une égalité de Bézout avec 1 au second membre.

Je sais, un rien m'amuse

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 20-11-13 à 01:58

Bonsoir à nouveau.

dans cet exercice, on a prouvé que pour tout n non nul, u_n est impair.

Puis que deux termes consécutifs de cette suite sont premiers entre eux.

Et pour finir que u_n-2=u_{n-2}^2u_{n-3}^2.....u_1^2(u_2-2) (*).

Je me demande en plus si on peut déduire que u_n est premier avec u_{n-i} pour i \in \{2,.....,n-1\}.
Je cherche en remontant la suite des indices. J'ai trouvé que u_n est premier avec u_{n-2} en reprenant la même démonstration que pour u_{n-1} et en remplaçant u_{n-k} par u_{n-k-1}^2-2.

Mais je ne vois pas comment continuer pour u_{n-3},.....,u_1.
(*)\Rightarrow PGCD\{u_n , u_{n-2}^2u_{n-3}^2.....u_1^2(u_2-2)\}=1 mais je ne trouve pas le lien. Avec Gauss, on sait que si un entier est premier avec deux autres, il est premier avec leur produit, mais c'est une implication. Or u_n premier avec u_{n-2} et avec u_{n-2}^2u_{n-3}^2 ne me permets pas de conclure que u_n est premier avec u_{n-3}.

Merci de votre attention.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 20-11-13 à 22:20

Bonsoir,

je ne vois pas s'il s'agit d'une astuce ou bien d'un théorème à appliquer.

Je vous remercie par avance si vous aviez une piste.

Posté par
Theo92re : Suite et pgcd 21-11-13 à 11:53

J'ai trouvé en refaisant pour tous les couples (u_n,u_{n-i}) le raisonnement fait pour (u_n,u_{n-1}).

Merci pour tout et bonne journée.


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