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suite et point d'accumulation
bonjour,
à l'occasion d'un post où il était question de la suite minorée définie par dont il fallait démontrer la convergence, je me suis intéressé à la définition explicite d'une suite
de l'intervalle [0,1] dont les termes sont tous distincts et possédant une infinité (forcement dénombrable) de points d'accumulation.
je vous propose donc de trouver une telle suite dont chaque terme devra donc être défini explicitement sans recours à une relation récurrente ou à une définition algorithmique.
Peut-être que l'on peut en trouver une dans la littérature mathématique.
Bonjour,
Pourquoi dénombrable ?
Quels sont les points d'accumulation de la suite définie par = partie fractionnaire de
?
Bonjour GBZM,
ok! je modifie alors mon texte initial en supprimant "forcément" et donc il faut une suite ayant un ensemble infini dénombrable de points d'accumulation.
c'est idiot car j'avais déjà pensé par exemple à que je désirais éliminer comme toutes les parties denses dans un sous ensemble de [0,1]
Bonjour
Pourquoi dénombrable ?
Une suite peut-elle avoir plus de points d'accumulation que de termes (dénombrables)?
est dense dans
. Avec ça on montre que les valeurs d'adhérence de (\cos(n)) forment l'ensemble [-1,1], qui est indénombrable.
En fait on fait même mieux : pour chaque , on peut trouver
tq
et deux suites d'entiers
et
qui prennent une infinité de valeurs distinctes et telles que
tende vers
. Et on peut même s'arranger pour que
soit (strictement) croissante si on veut.
:o@ulmière,
j'ai déjà répondu à GBZM sur le point de l'indénombrabilité. Je répète donc il faut pour éviter les cas de densité un ensemble infini dénombrable de points d'accumulation dans [0,1].
d'autre part, je souhaite une suite dont les termes tous distincts soient définis explicitement et non pas " on peut trouver une suite ...
Mouais ... tu forces maintenant l'ensemble des points d'accumulation à être infini dénombrable et (si j'ai bien compris) d'intérieur vide.
Il n'est pas dur d'en fabriquer : on part de la famille et on en fait une suite au moyen d'une bijection explicite
.
Désolé que l'expression de ma question n'ait pas exprimé avec précision ma pensée. C'est de ma faute. j'ai voulu dire "discret infini" et non " infini dénombrable.".
Donc je reprends " Trouver une suite de
d'éléments tous distincts et ayant un nombre infini de points d'accumulation constituant un ensemble discret
pour cette suite , il faudra définir les termes d'une manière explicite ne comportant ni récurrence ni démarche algorithmique".
Ce qui signifie que pour n donné de on doit donner une expression de
ne dépendant que de n.
Pour être encore plus clair, il va sans dire qu'il ne s'agit pas de construire pour chaque point d'accumulation une suite particulière ayant pour adhérence le point en question, car il s'agit de "numéroter" par son indice n chaque élément de la suite et non pas
Décidément, DOMOREA, ce n'est pas ton jour. Tu poses maintenant des conditions contradictoires : un partie infinie compacte de [0,1] (l'ensemble des points d'accumulation d'une suite à valeurs dans [0,1] est forcément compact) ne peut pas être discrète.
bien joué GBZM,
Je n'avais pas lu ton post quand j'ai apporté un complément.
Je crois comprendre que le caractère "compliqué" de ton 2ème dénominateur est pour éviter la répétition
En fait j'avais trouvé une suite partant sur la même idée avec les points d'accumulation convergeant vers 0. mes points d'adhérence étaient
et ma progression vers un point d'accumulation était basée sur le même principe.
pour définir ma suite je n'ai pas utiliser explicitement une bijection de N vers NxN mais c'est tout comme
l'ensemble des points d'accumulation d'une suite à valeurs dans [0,1] est forcément compact
Dois-je le démontrer ?
l'ensemble des points d'accumulation d'une suite à valeurs dans [0,1] est forcément compact
Dois-je le démontrer ?
Ensemble clairement borné par 0 et 1.
Si a n'est pas un point d'accumulation, il est isolé, donc il y a une boule de centre a qui ne continent aucun point d'accumulation. Donc chaque point de la boule en question est lui-même isolé. Donc le complémentaire de l'ensemble des points d'accumulation est ouvert. Donc l'ensemble des points d'accumulation est fermé et borné. Donc i lest compact (dimension finie).
ah! bon donc pour vous les ensembles {} ,
ou {
} ,
inclus dans le compact [0,1] ne sont pas discrets
j'ai pourtant lu le contraire un peu partout
Ces deux suites sont convergentes donc et
sont relativement compacts.
Donc l'ensemble dérivé de ces deux ensembles, qui est fermé est un compact.
DOMOREA, ça se confirme que ce n'est vraiment pas ton jour. Les deux ensembles que tu cites sont bien sûr discrets, mais ils ne sont pas fermés ! Or L'ENSEMBLE DES POINTS D'ACCUMULATION D'UNE SUITE EST FERMÉ !
Ce qui montre que l'ensemble n'est l'ensemble des points d'accumulation d'aucune suite : si une suite admet les
pour
comme points d'accumulation, elle admet aussi
comme point d'accumulation.
Mais qu'est-ce qui t'arrive aujourd'hui, DOMOREA ?
Mais qu'est-ce que tu racontes, à la fin ?
Trouver une suite
L'ensemble des points d'accumulation d'une telle suite devrait donc être une ensemble fermé infini dans [0,1]. Tu n'es pas d'accord ?
Or un ensemble fermé infini dans [0,1] ne peut pas être discret.
on peut donc dire que l'ensemble des points d'accumulation privé de 0 est discret.
il s'agit donc d'une suite dont l'ensemble des points d'accumulation est {0}union {Ai /i dans N* } Ai défini comme précédemment et {Ai /i dans N* } ensemble infini discret. Est-ce correct comme cela ?
L'ensemble des points d'accumulation n'est pas discret, puisqu'il a un point d'accumulation qui est 0. Si on le prive de 0, il est discret, mais ce n'est pas l'ensemble des points d'accumulations de la suite.
Tu as fini par comprendre le problème, dirait-on. 
On peut faire d'autres choses : une chose facile, construire une suite à valeurs dans [0,1] dont l'ensemble des points d'accumulation est l'ensemble de Cantor, compact non dénombrable d'intérieur vide et dont aucun terme n'appartient à l'ensemble de Cantor.
je m'immisce un instant car j'adore ces cas pathologiques...
la suite dont tu parles GBZM ne serait-elle pas les extrémités des segments qu'on enlève pour obtenir l'ensemble de Cantor ? ceux dont l'écriture en base 3 se termine par un "1" ou un "2" suivi d'une suite de "0" ?
Moi je prendrais les milieux de ces segments : ceux dont l'écriture tertiaire se termine par une suite infinie de 1.
Les extrémités des segments enlevés appartiennent à l'ensemble de Cantor.
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