Bonjour

Problème d'énoncé. Cette suite est bien définie par récurrence (on donne U_n+1 en fonction de U_n) Mais que veux-tu en faire?

bonjour

U0 = -1/2

Un+1 = Un + Un² = Un(1+Un)

U1 = U0(1+U0) = (-1/2)(1-1/2) = -1/4

U2 = U1(1+U1) = (-1/4)(1-1/4) = (-1/4)(3/4) = -3/16

U3 = U2(1+U2) = (-3/16)(1-3/16) = (-3/16)(13/16) = -39/256

je ne comprends pas quand tu parles qu'elle est "récurrente" ?

peux-tu mettre l'énoncé tel qu'il t'a été posé ?

Oops

Camélia a élucidé l'affaire

bonjour !

Bonjour mikayaou, justement je n'ai rien élucidé du tout! _{C'est un énoncé du genre soient A et B deux points équidistants}

salut,

mmm, c'est pas très clair tout ça...

Une suite est définie par récurrence si son terme au rang n est défini à partir de son terme au rang n-1 ou de façon plus général par ses termes antérieurs.
ex : est une suite définie par récurrence
Ta suite est définie par récurrence.

Sinon, on peut démontrer une propriété par récurrence.
Soit H une hypothèse qui dépend d'un paramètre n. On veut démontrer que cette hypothèse est vraie.
On démontre qu'elle est vraie au rang 0.
On suppose qu'elle est vraie au rang n (ce qu'on appelle hypothèse de récurrence), et on montre que ceci implique qu'elle est vrai au rang n+1.
Alors par le principe de récurrence, elle est vraie à tout rang n.
ex : montrer que xⁿ1 pour x[0,1] et n⁺
Par récurrence :
Au rang n=0, on a x⁰=11, c'est donc vrai.
On suppose que xⁿ1 est vraie
au rang n+1, on a xⁿ⁺¹=x*xⁿx*1 (d'après l'hypothèse de récurrence ci-dessus)
Or x[0,1], donc x1 et x*11
Ce qui donne xⁿ⁺¹1
CQFD

Ptitjean

pffffffffff je suis super en retard

et bonjour bien sûr

Autant pour moi,


J'ai fait l'amalgame entre 2 énoncés qui me posent problème depuis quelques temps.
Le premier est dans le cours de mon formateur mais sans correction.
soit U0=0
Un+1= racine carrée de l'expression (Un + 2)

Q1) Montrer que cette suite est récurrente
Q2) Qu'elle est croissante et majorée par 2.
.....le reste je saurais faire si j'arrive à débuter sur une expression de Un

L'autre énoncé U0=-1/2
Un+1= Un + (UN)au carré

me demande de montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence Un est supérieur  ou égal à -1 et inférieur ou égale à 0..

Dan tous les cas je n'arrive  pas à exprimer Un pour débuter..
J'ai vraiment du mal... Merci de votre compréhension.

salut,

pour le premier énoncé :
la suite est définie par récurrence. En fait on pourra dire que cette suite est récurrente ssi elle existe.
Or on a une racine carré, il faut donc montrer que les terme de la suite sont toujours positifs. Ainsi, tous les termes existent, et la suite est une suite récurrente.
Pour la seconde question, le plus simple serait de poser f(x)=(x+2). on a alors u_n+1=f(u_n). Etudis alors les variations de f avec un beau tableau.

Pour le second énoncé, voir mon post précédent pour voir comment fonctionne la démo par récuurence.

Ptitjean

C'est mieux! On n'a pas besoin d'exprimer U_n (il arrive que ça soit impossible!)

Alors par exemple pour Q1): U₀=0. U₁=2. On a donc U₀12.

Supposons que U_nn+1. Alors et ceci prouve que la suite est croissante. Supposons que U_n<2. Alors U_n+1<(2+2)=2. Et voilà!

salut,

pour le premier problème, on a
On a donc besoin du signe du numérateur

j'ai pour idée de poser
alors

Avec un tableau de variation de g, on voit que g est toujours positive, donc que f est toujours croissante.

Pour le second problème, tu y étais presque
En prenant la fonction h(x)=e^x, continue et dérivable en 0
On sait que h'(x)=e^x, continue en 0, avec h'(0)=1.
Maintenant, en effectuant le taux d'accroisement de h en 0, on a


développes l'expression et conclue !!

Ptitjean