Bonjour, je souhaiterais avoir votre avis sur lae résultaut que j'ai trouvé à la dernière question de cet exercice, je dois montrer qu'une suite converge et calculer sa limite.
Soit f, une fonction définie sur ]0;1], continue et décroissante sur ]0;1].
On considère la suite (r_n)_n* définie par :
n*, r_n=1/n.(de k=1 à n)f(k/n)
et la fonction I définie sur ]0;1] par : x]0;1], I(x)=(de x à 1)f(t)dt.
1) On doit démontrer que pour tout entier n2 et pour tout k[1;n-1], on a :
1/n.f((k+1)/n)(de k/n à (k+1)/n)f(t)dt1/n.f(k/n). C'est ok pour moi.
2) On doit démontrer que pour tout entier n2, on a :
I(1/n)+1/n.f(1)r_nI(1/n)+1/n.f(1/n). C'est ok pour moi.
3) On suppose, de plus, que lim(quand x0) I(x)=L (L) et lim(quand x0)x.f(x)=0. On doit démontrer que la suite (r_n)_n* converge. Je trouve qu'elle converge vers L.
4) Dans cette question, on pose f(x)=(x²-1)/4-1/2.ln(x), pour tout réel x]0;1].
a) On doit démontrer que pour tout n*, r_n=(n+1)(2n+1)/(24n²)-1/4-1/(2n).ln(n!/nⁿ). C'est ok pour moi.
b) En utilisant les questions précédentes, démontrer que la suite ((n!)^1/n/n)_n* converge et déterminer sa limite.
C'est ici que je bloque.
Je sais que 1/2n.ln(n!/nⁿ)=1/2.ln((n!)^1/n/n). Donc d'après la question 4)a), on a :
1/2.ln((n!)^1/n/n)=(n+1)(2n+1)/(24n²)-1/4-r_n.
lim(n(n+1)(2n+1)/(24n²)=1/12
et lim(n)r_n=1/3, en calculant à l'aide de l'intégrale de I(x).
Donc lim(n)1/2.ln((n!)^1/n/n)=1/12-1/4-1/3=-1/2
donc lim(n)ln((n!)^1/n/n)=-1
donc lim(n)(n!)^1/n/n)=1/e.
Merci d'avance pour la vérification^^.