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suite geometrique complexe

Posté par rust (invité) 23-11-05 à 21:30

bonsoir,

soit la suite geometrique z^n avec un z complexe.

Montrer quz si cette suite converge alors sa limite est nulle ou |z|=1.

J'ai ecrit z^n converge equivalent a |z^n-L|<e, puis j'ai essayer en ecrivant l'inegalité triangulaire ms ca ne donne rien.

Merci de votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : suite geometrique complexe 23-11-05 à 21:41

Bonsoir rust

Si cette suite converge vers un complexe , alors la suite (|z|n) converge vers vers ||. Or cette dernière suite est une suite géométrique réelle, et elle est converge si et seulement si |z|1. Ainsi, si la suite du départ converge, alors on doit avoir soit |z|=1, soit |z|<1 (et dans ce dernier cas, la limite de la suite est nulle).

Kaiser

Posté par
ottore : suite geometrique complexe 24-11-05 à 03:00

Sinon tu peux voir que si ta suite Z^n converge, alors Z^(2n) converge également vers le même nombre complexe.
Il doit donc vérifier L=L^2 ce qui donne L=0 ou L=1.
Si L=1 on montre que |Z|=1
Sinon L=0.
Sauf erreur(s) possible(s).
A+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite geometrique complexe 24-11-05 à 11:54

Bonjour;
(*)Si 3$\fbox{|z|<1} alors la suite (z^n)_{n\ge0} converge vers 0 puisque \lim_{n\to+\infty}|z^n|=\lim_{n\to+\infty}|z|^n=0
(*)Si 3$\fbox{|z|>1} alors la suite (z^n)_{n\ge0} diverge puisque \lim_{n\to+\infty}|z^n|=\lim_{n\to+\infty}|z|^n=+\infty
(*)Si 3$\fbox{|z|=1},en posant z=e^{i\theta} on a que z^n=cos(n\theta)+isin(n\theta) et la convergence de (z^n) exige celle de (cos(n\theta)) qui elle ne converge que si \theta\in2\pi\mathbb{Z} c'est à dire que 3$\fbox{z=1}

Conclusion:
La suite complexe 4$\fbox{(z^n)_{n\ge0}\hspace{5}converge\Longleftrightarrow ou\{{z=1\\|z|<1}

Sauf erreurs bien entendu


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