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Niveau Maths sup
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Suite, limite

Posté par
clement31249
23-12-24 à 17:11

Bonjour, je ne trouve pas la réponse de la question en pièce jointe.
J'ai essayé de faire plusieurs  cas :
Quand q' < q
Quand q < q'
Un cas est évident, mais l'autre….
Merci de me donner des pistes

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 23-12-24 à 17:13

( la question )

** image supprimée **3 lignes à recopier ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite, limite 23-12-24 à 19:17

Bonjour

peux-tu recopier cet énoncé et écrire également ce que tu as déjà fait ?

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 23-12-24 à 22:02

 \\ \text{4b) Montrer que pour tous entiers } n \text{ et } N \text{ avec } n \geq N, \text{ on a :}   \\ |x_n - \omega| \leq \frac{m}{M} \left( \frac{M}{m} |x_N - \omega| \right)^{2^{n-N}}. \\  \\ \text{4c) Justifier qu?il existe } N \text{ tel que :}   \\ \frac{M}{m} |x_N - \omega| < 1. \\ \text{Que pensez-vous de la vitesse de convergence de la suite } (x_n - \omega) \text{ comparée à une suite géométrique de raison } q < 1 \text{ ?} \\  \\ \textbf{Indication} : \text{ on pourra montrer que si } q, q' \in \, ]0, 1[, \text{ alors :}   \\ \lim_{n \to +\infty} \frac{q'^{2^n}}{q^n} = 0. \\
 \\ \text{J?ai déjà fait la 4b) On a déjà montré que } x_n \to \omega.   \\ \text{Soit } \epsilon = \frac{m}{M}.   \\ \text{Ainsi, il existe } N \in \mathbb{N} \text{ tel que, pour tout } n \geq N, \, |x_n - \omega| \leq \epsilon.   \\  \\ \text{Cela implique : } \frac{M}{m} |x_n - \omega| \leq 1.   \\ \text{Donc, il existe un } N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \frac{M}{m} |x_n - \omega| \leq 1.   \\  \\ \text{Pour montrer la limite, on distingue deux cas :}   \\  \\ \textbf{1er cas :} q' < q   \\ \text{Alors } q'^2 < q \text{ et } \frac{q'^2}{q} < 1.   \\ \text{Donc : } \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{q'^2}{q} \right)^n = 0.   \\  \\ \textbf{2ème cas :} q < q'   \\ \text{Dans ce cas, cela ne fonctionne pas }  \\

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 23-12-24 à 22:03

Je précise, avant les questions 4a) et 4b) on a montré que (xn) converge vers w
Et je commence à répondre  à la 4c)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 09:06

Bonjour,
Je ne pourrai pas t'aider pour autre chose que l'indication car il manque le début de l'énoncé.
Maintenant que tu en as recopié une partie du contenu, tu pourras en poster une image.

Pour l'indication et ce que tu en dis :
Tu sembles croire que a^{2^{n}} = \left( a^{2}\right)^{n}.
C'est faux car, en général, 2^{n} \neq 2n.

Peut-être utiliser la limite de \dfrac{2^{n}}{n} ?

PS Tu n'es plus en terminale. Merci de mettre à jour ton profil.

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 10:43

 \text  {vu que}  (a^{2} )^{^{n}} \neq  a^{(2^{n})}  
 \\ \text {comment doit on faire pour pour montrer la limite, je pensais qu'il fallait montrer que  ce qu'il y a sous la puissance n est strictement inférieur à 1 }

Suite, limite

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 11:38

Citation :
 \text  {vu que}  (a^{2} )^{^{n}} \neq  a^{(2^{n})}  
 \\ \text {comment doit on faire pour pour montrer la limite, je pensais qu'il fallait montrer que  ce qu'il y a sous la puissance n est strictement inférieur à 1 }

Citation :
Peut-être utiliser la limite de \dfrac{2^{n}}{n} ?

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 11:44

On a pas vu en cours, la limite de
\frac{2^{n}}{n} quand n tend vers + l'infini
Et je ne vois pas bien non plus comment cela servirai

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 13:54

Si tu ne l'as pas vu en cours, tu peux la chercher.
A ton avis, quelle est cette limite ?

Pour l'utiliser, on peut écrire \dfrac{q'^{2^{n}}}{q^{n}} = \left(\dfrac{N}{D} \right)^{n}

Je ne vais plus être disponible avant 17h.
Mais d'autres îliens pourront t'aider d'ici là

Posté par
candide2
re : Suite, limite 24-12-24 à 14:42

Bonjour,

Si tu connais la règle du génial Marquis (de Lhospital), alors :

L = lim_{n\to +\infty} (\frac{q'^{2^n}}{q^n }) est une indétermination du type 0/0 (car Q et Q' sont dans [0;1[)

--> Application de la règle de Lhospital

 L = lim_{n\to +\infty} \frac{2^n.ln(2).q'^{2^n}.ln(q)}{q^n.ln(q)}

 L = 2^n.ln(2).L

Et donc L = 0

Si tu ne connais pas la règle du génial Marquis, alors il faut trouver une autre méthode

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 15:33

La règle de l'hôpital n'est pas au programme,
La limite de (N/D)^n quand n tend vers + l'infini
Si N<D, N/D < 1 donc lim (N/D)^n = 0
Si N>D, N/D > 1 donc lim (N/D)^n = + l'infini

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 15:45

Je suis sur téléphone, donc laconique.
Si tu tentais de deviner la limite dont j'ai parlée, ainsi que les expressions de N et D ?

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 16:00

On aurait :
(\frac {N}{D})^{n} = \left(\frac {q'^{\frac {2^n}{n}}}{q}\right)^n = \frac {q'^{2^n}}{q^n}

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 16:12

\lim \frac{2^n}{n} = ? \text { Donc je ne sais pas } \lim q'^{\frac{2^n}{n}}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 16:40

On ne t'a jamais demandé ce genre de limite en terminale ?

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 16:42

On avait fait les croissances comparées avec ln et exp mais, je ne me souviens plus si on avait parlé de fonction puissances

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 16:54

La puissance t'embête ?
Regarde le logarithme.

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:03

\frac{2^n}{n} = e^{ln(\frac{2^n}{n})}= e^{nln(2)} e^{-ln(n)}

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:09

Mais en laissant n sous forme normale,
\lim \frac{e^{nln(2)} }{n} = +\infty \text{ par croissance comparée }

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:13

Donc \lim q'^{\frac{2^n}{n}} = 0 \text { car q'} \in ]0,1[

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:24

Mais après je ne vois pas comment relier ceci pour trouver la limite de départ,
\lim_{n \to +\infty} \frac {q'^{2^n}}{q^n}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:46

Par quelle croissance comparée ?

\ln \left(\dfrac{2^{n}}{n} \right) = n\ln (2) - \ln (n) = n \left(\ln (2) - \dfrac{\ln (n)}{n} \right)
Et là, on peut utiliser une limite connue.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 17:50

Si  \lim q'^{\frac{2^n}{n}} = 0 il existe un entier N à partir duquel q'^{\frac{2^n}{n}} est inférieur à \dfrac{q}{2}.

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 18:41

\lim \frac{e^{nln(2)}}{nln(2)} ln(2) = 0 \text { par croissance comparée }\frac {e^X}{X} _{X\to +\infty } \to +\infty Donc \lim \frac {2^n}{n} = +\infty Donc \lim q'^{\frac{2^n}{n}} = 0 \text { car q } \in ]0,1[ \text {Donc il existe un entier N } / |q'^{\frac{2^n}{n}} |\leq \frac {q}{2} car q > 0 Or |q'^{\frac{2^n}{n}} |= q'^{\frac{2^n}{n}} donc \frac{q'^{\frac{2^n}{n}} }{q} \leq \frac {1}{2} < 1 Donc \lim \left( \frac{q'^{\frac{2^n}{n}} }{q} \right)^n = 0

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 18:51

Et est ce que si ln(f(x)) tend vers + l'infini quand x tend vers + l'infini, alors f(x) tend vers + l'infini quand x tend vers + l'infini ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 19:01

Si tu passais à la ligne de temps en temps, on pourrait te lire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 19:04

Je réponds à ton message de 18h51 qui, lui, est lisible.
Si A > 0 alors A = eln(A)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite, limite 24-12-24 à 19:05

Je ne vais plus être disponible, réveillon de Noël oblige.
Mais j'ai l'impression que tu es débloqué.
Joyeux Noël !

Posté par
clement31249
re : Suite, limite 24-12-24 à 19:09

Merci pour votre aide ! Joyeux Noël



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