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suite numerique

Posté par
dje toulon 19-04-08 à 09:36

bonjour je seche depuis un moment.

S_{k,n}=\sum_{p=0}^n \frac {1}{8p+k\times 16^p}

etudier la monotomie de la suite S_{k,n} et montrer que
l on a

S_{k,n}\frac {C}{k} ou C est un reel independant de n et de k.
En deduire que la suite S_{k,n}converge vers un reel que l on notera Sk.

Demontrer

S_{k,n}=\sqrt{2}\^k\int_0^{\frac {1}{sqrt{2}}\sum_{p=0}^n\
x^8p+k-1 dx

merci d avance

Posté par
mikayaoure : suite numerique 19-04-08 à 09:54

bonjour

tu peux te relire et faire le nécessaire ( mettre les balises LaTeX par exemple ) ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite numerique 19-04-08 à 13:17

Si je ne me trompe , il s'agit de 5$\fbox{S_{k,n}=\Bigsum_{p=0}^{n}\frac{1}{(8p+k)16^p}} , pour 3$k\in\mathbb{N}^* et 3$n\in\mathbb{N} ,

pour k fixé , on demande la monotonie de 4$\fbox{\left(S_{k,n}\right)_{n\in\mathbb{N}}} ,

trouver une constante C telle que 4$\fbox{\forall(k,n)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}\;,\;S_{k,n}\le\frac{C}{k}}

déduire l'existence du réel 4$\fbox{S_k=\lim_{n\to+\infty}S_{k,n}}

et finalement vérifier que 5$\fbox{S_{n,k}=\sqrt{2}^k\;\int_{0}^{\frac{1}{sqrt2}}\left(\Bigsum_{p=0}^{n}\;x^{8p+k-1}\right)dx} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
dje toulon re re suite numerique 19-04-08 à 21:53

bravo a monsieur abdelali je voulais ecrire comme vous mais je n y suis pas arrive.
Il s agit bien du bon enonce.
Je n ai pas de solution.

Bon courage.

*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite numérique. 19-04-08 à 23:42

OK ! dje toulon vient de confirmer l'énoncé (dans un autre topic qu'un modérateur est prié de supprimer pour éviter le multipost)

\fbox{*} à k fixé on a pour tout n\in\mathbb{N} , 4$\fbox{S_{k,n+1}-S_{k,n}=\frac{1}{(8(n+1)+k)16^{n+1}}\;>0} ce qui prouve la stricte croissance de la suite \left(S_{n,k}\right)_{n\in\mathbb{N}}.

\fbox{*} comme 4$\fbox{\frac{1}{8p+k}\le\frac{1}{k}} on a 4$\fbox{\Bigsum_{p=0}^{n}\;\frac{1}{(8p+k)16^p}\;\le\;\Bigsum_{p=0}^{n}\;\frac{1}{k16^p}\;=\;\frac{1}{k}\Bigsum_{p=0}^{n}\;(\frac{1}{16})^p\;=\;\frac{1}{k}\frac{1-(\frac{1}{16})^{n+1}}{1-\frac{1}{16}}\;\le\;\frac{\frac{16}{15}}{k}\;=\;\frac{C}{k}}.

\fbox{*} à k fixé la suite \left(S_{n,k}\right)_{n\in\mathbb{N}} étant croissante et majorée est convergente vers un réel 3$\fbox{S_k=\lim_{n\to+\infty}\;S_{n,k}}.

\fbox{*} en partant du membre de gauche on a ,

3$\fbox{\sqrt 2^k\;\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt 2}}\;\left(\Bigsum_{p=0}^{n}\;x^{8p+k-1}\right)dx\;=\;\sqrt 2^k\;\Bigsum_{p=0}^{n}\;\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt 2}}\;x^{8p+k-1}dx\;=\;\sqrt 2^k\;\Bigsum_{p=0}^{n}\;[\frac{x^{8p+k}}{8p+k}]_{0}^{\frac{1}{\sqrt 2}}\;=\;S_{n,k}}


Posté par
Coll Moderateurre : suite numerique 20-04-08 à 07:45

Bonjour à tous,

dje toulon >> Tu dois répondre à la suite de ton topic et ne pas en créer un nouveau aussi longtemps que tu travailles sur le même énoncé.

Regarde par exemple : [lien]


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