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Suite numérique

Posté par smad74 (invité) 07-03-05 à 13:36

Salut, j'ai besoin de votre aide pour cet exo.


                                                     1
Soit la suite numérique définie par U0=0[dx/(1+x)] et pour tout n*:
       1
un=0[(xn.dx)/(1+x)]

1) Calculer u0, u1 en utilisant l'intégration par partie.

2) Démontrer que pour tout x0 et tout n positif on a:

0xn/(1+x)xn


Merci.

Posté par
renaudre : Suite numérique 07-03-05 à 17:40

U_0 = 2[sqrt{1+x}]_0^1 = 2(2\sqrt{2} - 1)

U_1 = \int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{1+x}}
On choisit S = x; S' = 1; V' = \frac{1}{\sqrt{1+x}} et V = 2sqrt{1+x}.

U_1 = [2x\sqrt{1+x}]_0^1 - \int_0^12\sqrt{1+x}dx
U_1 = 2sqrt{2} - 2[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}]_0^1
U_1 = 2\sqrt{2} - \frac{4}{6}(2\sqrt{2} - 1)

Posté par
renaudre : Suite numérique 07-03-05 à 17:56

Est ce que la suite (Un) vérifie aussi x 0 et n positif, Un = \int_0^1\frac{x^ndx}{sqrt{1+x}} ?

Posté par
renaudre : Suite numérique 07-03-05 à 18:02

Excuse, une petite erreur dans le résultat de U_1 c'est \frac{4}{3} et non \frac{4}{6}

Posté par smad74 (invité)re : Suite numérique 07-03-05 à 18:17

Oui, elle vérifie tout ça.

Posté par
renaudre : Suite numérique 07-03-05 à 18:42

Si x=0 c'est vrai.
vrai pour n = 0 car 0 \frac{1}{sqrt{1+x}} 1 (*)
Supposons que c'est vrai au rang n et montrons que c'est vrai au rang n+1.
0 \frac{x^{n+1}}{sqrt{1+x}} x^{n+1}
On divise par x^{n+1} et on retrouve (*).
Tout ça est vrai pour x 1.
Maintenant je sais pas pour |x| 1 car x^n+ si n+.

Posté par
renaudre : Suite numérique 07-03-05 à 18:47

Ou sinon on divise seulement par x l'inégalité 0 \frac{x^{n+1}}{sqrt{1+x}} x^{n+1} et c'est bon puisque dans la récurrence x > 0.

Posté par smad74 (invité)re : Suite numérique 07-03-05 à 18:57

Si je divise par xn alors j'obtient une inégalité correcte.

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Suite numérique 08-03-05 à 16:22

Petite erreur dans le calcul de renaud il me semble...

U0=2((2)-1)=(22)-2

Enfin je crois, je peux me tromper...

Posté par
renaudre : Suite numérique 08-03-05 à 19:39

Exact je fais plein d'erreur comme ça c bien 22-1

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Suite numérique 08-03-05 à 20:07

c'est 22 -2


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