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Suite numérique

Posté par
ecoleprep 26-12-11 à 22:14

Bonjour,
permettez-moi de vous poser cette question.
J'ai un problème concerne les suites numériques, la question de cet exercice comme le suit:
Montrer que cette suite est convergente:

U_n=sin[(2+√3)^n π]

Cordialement.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:17

Salut

Ah, un joli exo

Montre que \sum U_n est de même nature que \sum \sin\left((2-\sqrt{3})^n\right). Indication : calcule (2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n avec la formule du binôme de Newton.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:19

Ah mince tu parles de suite, je pensais à série.

L'indication tient toujours, cependant.

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:24

Bonsoir,
merci de votre aide.
mais j'ai une suite pas une série.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:25

Calcule (2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:27

Ok, j'ai déjà utilisé cette indication, mais j'ai pas pu trouver la limite.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:28

tu as trouvé quoi ? et donc tu peux écrire (2+\sqrt{3})^n=\mathrm{machin}-(2-\sqrt{3})^n ; et si tu prenais le sinus ?

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:34

ok, j'ai noté la somme par S, le premier terme A et le deuxième terme B, alors
sin A = cos S sin B - sin S cos B ( car la somme est toujours paire ), on obtient
Sin A = Sin B.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:37

Ok. Maintenant, vers quoi tend sin(B) ? Remarque que 0<2-\sqrt{3}<1

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:39

mais la fonction sinus n'est pas monotone.

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:43

ok, tend vers 0. Merci beaucoup.

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:46

c'est à dire la limite de sin B est égale à la limite de B.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:48

On peut avoir la convergence de la série de terme général Un aussi.

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 22:54

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 22:57

je t'en prie

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 23:01

on a oublié le  pi.

Posté par
gui_toure : Suite numérique 26-12-11 à 23:04

Ca ne change rien, juste à justifer que sin(machin*pi) = 0 parce que machin est un entier

Posté par
ecoleprepSuite numérique 26-12-11 à 23:06

Ok, merci.
Bonne soirée!


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