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Suite, partie entière et valeur d'adhérence

Posté par
Ramanujan 14-09-23 à 14:50

Bonjour,

Voici ce nouvel exercice, où j'ai réussi à traiter les deux premières questions, sauf erreur. Je bloque sur la question 3.

On pose u_n= \sqrt{n}- \lfloor \sqrt{n} \rfloor pour tout n \in \N.
1) Etudier \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n^2+n}.En déduire que (u_n)_{n \in \N} n'a pas de limite.
2) Montrer que  \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n^2 b^2+2an} = \dfrac{a}{b} pour tous a \in \N et b \in \N^{*} pour lesquels a \leq b.
3) Montrer que [0,1] est l'ensemble des valeurs d'adhérence de  (u_n)_{n \in \N}.

1) Soit n \geq 1. On a n^2 \leq n^2+n < (n+1)^2
Donc n \leq \sqrt{n^2+n} < n+1 et donc \lfloor \sqrt{n^2+n} \rfloor=n.
Donc u_{n^2+n}= \sqrt{n^2+n}-n = \dfrac{1}{ \sqrt{1+1/n}+1} \longrightarrow \dfrac{1}{2}
On a montré :  \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n^2+n}=\dfrac{1}{2} }.
(u_{n^2+n}) est une sous-suite de (u_n).
Mais la sous-suite (u_{n^2}) converge elle vers 0, ce qui montre que la suite (u_n) n'a pas de limite.

2) Soit n \geq 1.
On a : n^2 b^2 \leq n^2 b^2 +2an < n^2b^2+2bn
Donc nb \leq  \leq \sqrt{n^2 b^2+2bn} < nb+1
Ainsi : \lfloor \sqrt{n^2 b^2+2an} \rfloor = nb

Par conséquent : u_{n^2 b^2 +2 an}=\sqrt{n^2 b^2 +2an}-nb = \dfrac{2an}{ nb \left( \sqrt{1+\frac{2a}{nb^2}} +1    \right) } \sim \dfrac{2an}{2bn} \sim \dfrac{a}{b}

On a montré : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n^2 b^2+2a n}=\dfrac{a}{b} }.

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 14:57

Bonjour,
On peut peut-être penser à utiliser la question 2 ?

Posté par
carpediemre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 15:06

salut

et pourquoi un équivalent alors qu'une simplification et un passage à la limite suffisent ?

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 15:43

J'aime bien utiliser les équivalents.

GBZM
J'y ai pensé mais la question 2 permet uniquement de montrer \Q \cap [0,1] \subset Adh( u_n).
Je ne vois pas comment faire pour le montrer sur tout [0,1].

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 16:02

Tu ne sais (ou ne conjecture) rien de plus sur l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite ? Ça peut être n'importe quelle partie de \mathbb R, à ton avis ?

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 17:58

Je pense que c'est un fermé mais ce résultat est hors programme en MPSI... J'ai dû voir ça dans un exercice de niveau MP.
Le cours de sup sur les valeurs d'adhérence est très limité.

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 18:26

Alors laisse tomber !
Ça n'a vraiment rien de sorcier de montrer que la limite d'une suite de valeurs d'adhérences est une valeur d'adhérence. Ici tu te fixes un réel r dans [0,1] et un \epsilon >0 et tu veux montrer qu'il y a un u_n à distance moins de {\epsilon} de r.

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 14-09-23 à 19:53

Je n'ai jamais entendu parler de suites de valeurs d'adhérence. Je ne comprends pas votre indication.

Je veux montrer que [0,1] \subset Adh(u_n)
Par caractérisation séquentielle, on doit montrer que \forall x \in [0,1] il existe une sous-suite (u_{\varphi(n)}) telle que u_{\varphi(n)} \longrightarrow x.

Je ne vois pas comment faire, j'arrive à traiter que le cas \Q \cap [0,1] avec la question 2.

Je ne sais pas faire sur (\R \backslash \Q) \cap [0,1]

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 09:13

Citation :
Je n'ai jamais entendu parler de suites de valeurs d'adhérence.

Une valeur d'adhérence d'une suite réelle est un nombre réel. Tu n'as jamais entendu parler de suites de réels ?

Je répète ce que j'ai écrit, en précisant :
Tu fixes un réel r dans [0,1], un \epsilon >0 ; et un entier N. Tu veux montrer qu'il y a un n \geq N tel que u_n est à distance moins que {\epsilon} de r. Tu commences par remarquer qu'il y a des rationnels de [0,1] aussi proches qu'on veut de r.

Posté par
ThierryPomare : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 14:09

@Ramanujan : bonjour. Depuis le temps que tu interviens ici, puis sur les-mathematiques.net, puis à nouveau ici, il serait peut-être grand temps de t'investir dans un cours de topologie rudimentaire (espaces métriques, espaces normés, ...), cours disponibles sur le web.

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 14:34

Thierry Poma
Bonjour, en effet.

GBZM
Merci je réfléchis maintenant que je sais quels résultats utiliser.

Soit r \in [0,1]. r est une valeur d'adhérence de la suite (u_n) si et seulement si \forall \varepsilon 0 \ \forall N \in \N \ \exists n \geq N \ |u_n-r| \leq \varepsilon

Comme \Q est dense dans \R, \forall x \in \R, il existe une suite (x_n) d'éléments de \Q telle que x_n \longrightarrow x.

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 15:15

Soit \varepsilon >0 et N \in \N.
Soit r \in [0,1].

Comme \Q est dense dans \R donc dans [0,1] \subset \R, il existe un rationnel x=\dfrac{a}{b} avec (a,b) \in \N \times \N^{*} et a \leq b tel que | x-r| \leq \varepsilon

D'après la question 2, x= \dfrac{a}{b} est une valeur d'adhérence de la suite (u_n).

Donc il existe n \geq N \ |u_n- \dfrac{a}{b} | \leq \varepsilon

Mais \forall n \in \ N \ |u_n - r|=|u_n - x +x -r| \leq | u_n -x| + |x-r|

Donc on a montré :
\boxed{\forall \varpesilon >0  \forall  N \in \N \ \exists n \geq N \ |u_n-r| \leq 2 \varepsilon}

On a donc montré que [0,1] \subset Adh(u_n).
L'inclusion réciproque étant évident, il vient :
\boxed{Adh(u_n)= [0,1]}

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 15:23

Citation :
maintenant que je sais quels résultats utiliser.

Tu sembles avoir d'énormes difficultés à mobiliser les outils que tu connais pour faire la moindre démonstration.

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 16:26

Ma preuve est-elle correcte ?

Posté par
GBZMre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 16:41

Elle ne te convainc pas ?

Posté par
Ramanujanre : Suite, partie entière et valeur d'adhérence 15-09-23 à 16:48

Si mais on sait jamais, je fais parfois de grosses bourdes.

Merci.


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