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suite recurrente
bonjour , j'ai un autre probleme que je n'arrive pas à resoudre
on se propose d'etudier la suite recurrente (Un definie par U(n+1)= f(Un) avec f(x)=0,5 *x*(x-1) en fonction du point de depart x0 appartenant à R.
1_____Supposons qu'il existe N appartenant à N(ensemble des entiers naturels) tel que U(N)>3 . Montrer par recurrence qu'on a pour tout k appartenant à N (ensemble des entiers naturels) la minoration
(U(N+k) - 3) >= (5/2)^k * (U(N)-3)
2_______en deduire qu s'il existe N appartenant à N tel que U(N) >3 alors la limite quand n tend vers + infini de U(n) = +inf
3_________ supposons que N appartenant à N est tel que -1/2<Un< 5/2 . Montrer par recurrence qu'on a pour tout k appartenant à N les inégalités
valeurabsolue(U(N+k)) <= (3/4)^k *valeurabs(Un) et -1/2<U(N+k)< 5/2
f(3)=3 et si x=3+h, f(x)=(3+h)(2+h)/2=3+5h/2+h^2/2 donc f(x)-3>=5h/2
donc u(N+1)-3=f(u(N))-3>=(5/2)(u(N)-3), donc...
le 2) en découle...
pour le 3) si -1/2<x<5/2, -3/4<(x-1)/2<3/4
f'(x)=x-1/2 donc f passe par un minimum pour x=1/2 f(1/2)=-1/8 et comme f((-1/2)=3/4 et f(5/2)=15/8 on a bien pour -1/2<x<5/2 -1/2<-1/8<f(x)<15/8<5/2
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