(NB quand je note (Un-1) c'est U indice n-1 )
vaut il mieux que je commence par etudier (Un-1)-Un ou alors etudier f(x) = un+1 ??

Bonjour,
je regarde les 1ers termes, histoire de me donner une idée.
Sinon je vois que c'est toujours positif, je regarde si c'est croissant ou décroissant et/ou borné, ou aucun des 4.

J'essaie de voir si je peux conclure quant à une éventuelle limite.

Je crois que tes notations sont un peu confuses, car si au premier membre le +1 est en indice, ce n'est pas le cas au second.
Je crois avoir compris que f(x)=(x+1)/(2x+3) et que Un+1=f(Un)
On cherche généralement le point fixe x=f(x) soit 2x²+2x-1=0
x0=(-1+3)/2 (on prend la racine positive parce que U0>0 et par une récurrence immédiate, Un>0)
Puis on pose Vn=Un-x0
Donc x0+Vn+1=(x0+Vn+1)/(2x0+2Vn+3)
et puisque 2x0²+2x0-1=0 , Vn+1=Vn/(2x0+2Vn+3)
donc la suite Vn est positive, puisque V0=U0-x0)=1-x0>0 et par récurrence
et Vn+1<aVn avec a=1/(2x0+3)<1 donc Vn converge vers 0 et Un vers x0

j'ai repris exactement les meme notation que l'énoncé,
mais notre prof est un peu fou !!! alors

C'est sans doute les mêmes notations que dans l'énoncé, mais la confusion vient de la typographie: je pense que dans ton énoncé on voit clairement que le n+1 du premier membre est en indice, alors que dans le second, n est en indice et +1 s'ajoute à U...