Salut, pour étudier une suite récurrente, il faut commencer par trouver un intervalle "stable" de définition, c'est-à-dire un intervalle tel que . Ici , à toi de trouver un bon intervalle stable pour commencer...

[-1;1] est un intervalle stable pour cosinus

D'accord, alors pour la suite on peut réduire à [0,1] comme intervalle stable à partir d'au moins . En effet, on prendra quelconque et on obtient dans [-1,1], puis cos est positive sur [-1,1], donc et [0,1] est stable pour cos.

Avant la suite, pour t'expliquer mon but, c'est qu'on te demande de prouver l'existence d'un point fixe pour la suite définie par . L'idée est de montrer que la suite converge vers un réel L, et alors par passage à la limite, tu auras L=cos(L), ce qui permet de conclure.

Prouvons donc que la suite converge.
est décroissante sur [0,1], donc est croissante sur [0,1].
Peux-tu montrer (par récurrence) que, pour une suite définie par , la suite est monotone ?

Après ça, on peut poser les suites et vérifiant les relations et . On en déduit que et sont monotones, et sont bornées (dans [0,1]), donc convergent, et ce vers la même limite. Ce sont des suites extraites de , qui converge donc aussi...

J'ai réussi la question merci beaucoup pour votre aide.
Bonnes fêtes de fin d'année.

A vrai dire je n'ai montré seulement l'existence d'un unique point fixe et non qu'il est attractif ...

est-ce parce que le point fixe appartient à [-1;1] et est ainsi inférieur à 1 ?