Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Suite récurrente

Posté par
Lucie31415 24-08-22 à 15:20

Bonjour,
Je dois montrer que la suite (un)n est strictement décroissante avec la suite (un)n définie par la relation de récurrence suivante :
u_{0}\in R_{+}^{*}\; et\; pour\; tout\; n\in N,\; u_{n+1}=th(u_{n})

Si quelqu'un a une idée de comment faire, je suis preneuse

Merci à vous d'avance pour votre temps
Cordialement
Lucie31415

Posté par
carpediemre : Suite récurrente 24-08-22 à 15:27

salut

u_{n + 1} = \tanh u_n \\ u_{n + 2} = \tanh u_{n + 1} \\ \\ u_{n+ 2} - u_{n + 1} = ...

en utilisant l'identité tanh a - tanh b = ...

Posté par
Lucie31415re : Suite récurrente 24-08-22 à 17:23

Merci beaucoup !
J'avais essayé avec un+1 et un mais n'aboutissais à rien.
Je vais donc essayer avec un+2

Merci à vous

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite récurrente 24-08-22 à 17:47

Bonjour,
Il s'agit en fait de démontrer deux choses :
1) Tous les termes de la suite sont strictement positifs.
2) Pour tout x dans R_{+}^{*} on a tanh(x) < x.

Posté par
Lucie31415re : Suite récurrente 24-08-22 à 18:23

Merci, je vais essayer de ce pas.

Posté par
carpediemre : Suite récurrente 24-08-22 à 19:38

non les signes des termes n'interviennent pas immédiatement car la fonction tanh est (strictement) croissante donc :

u_{n + 1} $ et $ u_n $ sont dans un certain ordre $ \\ \tanh u_{n + 1} $ et $ \tanh u_n $ sont dans le même ordre $ \\ u_{n + 2} $ et $ u_{n + 1} $ sont donc dans le même ordre que $ u_{n + 1} $ et $ u_n $

ce qui permet de conclure que ... ?

et pour conclure définitivement il suffit de connaitre ... ? (et c'est seulement maintenant qu'on pourra conclure avec les deux indications  (nécessaires) de Sylvieg)

Posté par
Ulmierere : Suite récurrente 24-08-22 à 20:21

Euh... ça me semble bien compliqué cette histoire avec u_{n+2}. C'est simplement que u_{n+1}-u_n = f(u_n) avec f = \tanh - id.

Tout ce qu'il y a à faire, c'est d'étudier le signe de la fonction f en la dérivant. Et c'est particulièrement facile vu que tanh' = 1-tanh² et f(0) = 0

Posté par
carpediemre : Suite récurrente 24-08-22 à 20:51

ha oui ! on peut aussi !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !