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Suite recurrente

Posté par
AlexQuiFlex
22-09-22 à 16:20

Bonjour, au cours d'un probleme on cherche à determiner la limite d'une suite definie par récurrence :
X1 > 0
Xn+1 = Xn + 1/(n*Xn)

J'ai comme intuition qu'elle tend vers + inf mais je n'arrive pas à le démontrer proprement. Auriez-vous une idee ?

Merci d'avance

      

Posté par
lionel52
re : Suite recurrente 22-09-22 à 16:47

1) Montrer que la suite est strictement croissante
2) Elle admet donc une limite, finie ou +inf. Tu peux raisonner par l'absurde pour voir que la limite ne peut être finie

Posté par
AlexQuiFlex
re : Suite recurrente 22-09-22 à 18:05

J'avais essayé un truc comme ça mais je n'arrive pas à conclure (il y a peut etre une erreur de raisonnement) :

Par recurrence on montre facilement que pour tout n, Xn>0 donc (Xn) strictement croissante. Supposons qu'elle admette une limite finie l. Par unicité de la limite et comme 1/(n*Xn) tend vers 0 : on obtient l=l. Et là c'est le drame.
Peut-etre faut-il raisonner en terme de majoration mais je ne vois pas comment le faire rigoureusement.

Posté par
verdurin
re : Suite recurrente 22-09-22 à 19:18

Bonsoir,
on a x_{n+p}<x_n+\frac{n!}{x_n}\sum_{k=1}^p\frac1{(n+k)!}

J'ai l'impression que la suite à une limite finie.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Suite recurrente 22-09-22 à 19:28

Bonjour


si la suite (x_n) avait une limite finie \ell>0 la série de terme général x_{n+1}-x_n serait convergente ...

Posté par
GBZM
re : Suite recurrente 22-09-22 à 19:33

Si la suite strictement positive (X_n) était majorée, alors (1/X_n) serait minorée par un m>0.

Posté par
carpediem
re : Suite recurrente 22-09-22 à 20:10

salut

x_1 = x_1
 \\ x_2 = x_1 + \dfrac 1 {1x_1}
 \\ x_3 = x_2 + \dfrac 1 {2x_2}
 \\ ...
 \\ x_n = x_{n - 1} + \dfrac 1 {(n - 1)x_{n - 1}}

en sommant ces n égalités on en déduit que x_n = x_1 + \sum_1^{n - 1}\dfrac 1 {kx_k}

toute suite convergente est bornée ...

Posté par
ty59847
re : Suite recurrente 22-09-22 à 20:14

Si la suite a une limite L, tous les termes sont inférieurs à cette limite L
Regardons la suite V définie par V1 = X1 et Vn+1+ 1/ (L Vn)

etc

Posté par
Ulmiere
re : Suite recurrente 22-09-22 à 20:19

Après avoir montré par récurrence immédiate que X est strictement positive

X_{n+p}^2-X_n^2 = \sum_{k=n}^{n+p-1}X_{k+1}^2-X_k^2 = \cdots = 2(H_{n+p-1}-H_{n-1}) + \text{(un truc } > 0\text{)}.

où H est la série harmonique

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Suite recurrente 22-09-22 à 20:31

On peut aussi montrer (assez facilement) que \Large\boxed{\lim_{n\to+\infty}~n(x_{n+1}^2-x_n^2)=2}


d'où l'on tire que \Large\boxed{x_n~\sim~\sqrt{2\ln n}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
DOMOREA
Suite recurrente 23-09-22 à 10:33

bonjour,
En exploitant la méthode préconisée par lionel52, on conclue facilement.
Evidemment, ethor_abdelati a donné un équivalent, mais ce n'était pas demandé dans le texte même si c'est encore mieux.
Sans cela, il n'était pas nécessaire de passer au carré pour la stricte réponse.

En écrivant (x_n) majoré par M,
on a immédiatement x_n-x_1 >\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} d'où la contradiction avec la présence de la série harmonique.
c'est sans doute la méthode de GBZM qui n'a pas souhaité développer.

Posté par
GBZM
re : Suite recurrente 23-09-22 à 11:32

Bien sûr ... mais il y avait déjà du trop-plein, sans intervention de l'étudiant qui a initié le fil.



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