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suite récurrente

Posté par
mathus1412 25-03-23 à 09:26

modération > **Bonjour***

Je suis perdu avec (u_n) telle que (n+2)²u_{n+1}=  n²u_n-(n-1).

Merci

Posté par
malou Webmasterre : suite récurrente 25-03-23 à 10:17

Bonjour
Perdu où ? Il n'y a pas d'énoncé...

Posté par
mathus1412re : suite récurrente 25-03-23 à 11:23

Pardon, c'est étudier la convergence.

Posté par
carpediemre : suite récurrente 25-03-23 à 12:32

salut

ouais un énoncé complet serait nécessaire car par exemple qu'en est-il du premier terme ?

Posté par
carpediemre : suite récurrente 25-03-23 à 12:55


on peut déjà remarquer que :

\forall u_0 \in \R  :  u_1 = \dfrac 1 4$ et $ u_2 = \dfrac 1 {36}   et donc il peut être intéressant de rentrer cette suite dans un tableur pour voir ce qui se passe ...


u_n < 0 \Longrightarrow u_{n + 1} < 0    et donc à nouveau la question est de savoir si la suite devient négative à partir d'un certain rang ...

puis que u_n < 0 \Longrightarrow u_{n + 1} < -\dfrac {n - 1} {(n + 2)^2}     ... ouais bof ...



posons v_n = n^2 u_n

(n + 2)^2 u_{n + 1} = n^2 u_n - (n - 1) \iff v_{n + 1} = \dfrac {(n + 1)^2} {(n + 2)^2} v_n - (n - 1) \dfrac {(n + 1)^2}{(n + 2)^2}

ouais bof ... faut voir !!  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite récurrente 25-03-23 à 14:36

Bonjour,
Attendons d'avoir un énoncé recopié intégralement depuis son premier mot.
Autre chose que "c'est étudier la convergence".

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite récurrente 25-03-23 à 15:32

Bonjour


En partant de \Large\boxed{(n+2)^2u_{n+1}=n^2u_n-(n-1)}

on a \Large\boxed{(n+1)^2(n+2)^2u_{n+1}=n^2(n+1)^2u_n-(n+1)^2(n-1)} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite récurrente 25-03-23 à 15:43

On aboutit alors à \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~u_n=-\frac{1}{12n(n+1)}\left(3n^2-5n-4\right)}

Posté par
Ulmierere : suite récurrente 25-03-23 à 16:05

En fait, pas besoin de faire le calcul, ta récurrence dit que pour tous 0\leqslant n_0\leqslant N, on aura

(N(N+1))^2u_N - (n_0(n_0+1))^2u_{n_0} = -\sum_{n=n_0}^{N-1} (n+1)(n-1).

Plutôt que de se lancer de calcul et de simplifier des fractions, on peut directement remarquer que -(n+1)^2(n-1) est un polynôme de degré 3 en n. Le résultat sera donc un polynôme de degré 4. Tous les termes de degré inférieur à 4 vont sauter quand on va diviser par N^2(N+1)^2 et faire tendre vers l'infini.

On aura donc \lim_{N\to\infty} u_N = -\lim_{N\to\infty} \dfrac{1}{(N(N+1))^2}\dfrac{(N-1)^2N^2}{4} = -\dfrac14

Posté par
carpediemre : suite récurrente 25-03-23 à 17:35

que suis-je bête !!

en voulant absolument diviser je n'ai pas vu le changement de variable encore plus mieux bien que mon mien !!

Posté par
mathus1412re : suite récurrente 26-03-23 à 13:08

Merci pour vos réponses, on me suggère de poser v_n=u_n+1/4

ça me donne v_n+1 = n²/(n+2)² v_n +2/(n+2)² ...

Je ne sais pas trop où aller avec ça.

Je vais examiner vos réponses et essayer de faire les étapes.

Posté par
carpediemre : suite récurrente 26-03-23 à 13:18

mathus1412 @ 26-03-2023 à 13:08

on me suggère de ...
qui ça ?

parce que si c'est dans l'énoncé il aurait été sympa et correct de le donner dès ton premier post !!

ce changement de variable ne me semble guère pertinent quand on voit ce qui a été proposé : le mien qui n'est guère encourageant mais surtout celui de elhor_abdelali qui permet lui de conclure ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite récurrente 26-03-23 à 13:37

Sylvieg @ 25-03-2023 à 14:36

Bonjour,
Attendons d'avoir un énoncé recopié intégralement depuis son premier mot.
Autre chose que "c'est étudier la convergence".


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