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Niveau Licence Maths 1e ann
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Suite récurrente

Posté par
ManonRbl03
05-12-23 à 13:25

Bonjour à tous et merci d'avance pour votre aide...

Je suis bloquée sur un exercice utilisant une suite récurrente définie par : ]0;+\infty [ \rightarrow R, f(x)=\sqrt{x+1}
u_n définie par : u_0=1 et u_(n+1)=f(u_n)

1) Montrer que u_n>= 0 pour tout n : ça j'ai réussi.

2) En étudiant g(x)=f(x)-x, montrer que si u_n converge alors elle n'a qu'une limite possible l appartient à R.
Ici, je ne comprends pas le sens de cette question car c'est la définition même de la convergence...
Montrer que 1<l<2 (sans calculer l). Pour la partie de gauche, ça va car la suite est croissante et comme u_0 vaut 1 c'est bon mais la partie de droite je ne vois pas comment faire. J'ai pensé à un raisonnement par récurrence mais je ne suis pas sûre de moi.

3) Montrer que pour tout x,y > 0, |f(x)-f(y)|<|x-y|. Là j'ai utilisé l'inégalité des accroissements finis, c'est bon.

4) Prouver pour tout n : |u_(n+1)-l|<|u_n-l|. (Utiliser f(l)=l). Là encore je ne vois pas trop par où prendre le problème car c'est évident que, comme la suite est croissante elle est plus proche de l en u_(n+1) donc la soustraction est plus petite qu'avec u_n.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite récurrente 05-12-23 à 13:59

Bonjour,
Je ne fais que passer.
La manière dont la question est posée est trop concise.
Je reformule en ajoutant une indication :

Démontrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution réelle a.
Montrer que si la suite (u_n) converge vers un réel l alors l = a.

Posté par
ManonRbl03
re : Suite récurrente 05-12-23 à 16:04

Bonjour,

Merci pour votre aide sur la première partie de la question 2). Je trouve effectivement une unique racine réelle appartenant au bon domaine de définition. Mais cela implique donc que j'ai calculé l, or il est précisé que ce ne doit pas être fait dans la suite de la question 2)...

Posté par
LeHibou
re : Suite récurrente 05-12-23 à 16:41

Bonjour,

En passant par là :

Citation :
J'ai pensé à un raisonnement par récurrence mais je ne suis pas sûre de moi.

Ça me semble une bonne direction :
Si x < 2, que peut-on dire de f(x) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite récurrente 05-12-23 à 18:45

ManonRbl03 @ 05-12-2023 à 16:04

Bonjour,

Merci pour votre aide sur la première partie de la question 2). Je trouve effectivement une unique racine réelle appartenant au bon domaine de définition. Mais cela implique donc que j'ai calculé l, or il est précisé que ce ne doit pas être fait dans la suite de la question 2)...
L'auteur de l'énoncé n'a sans doute pas vu que l'équation f(x) = x était facile à résoudre.
Il s'attend à des arguments genre "fonction continue strictement monotone qui change de signe".
De même pour 4), devrait être précisé "déduire de 3)".

Par ailleurs, tu affirmes que la suite est croissante. Ce n'est pas évident.



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