Bonjour à tous.
Je me permets de venir vous demander un peu d'aide pour un exercice de maths sur les suites.
Je dois montrer que la suite définie par
et
est décroissante à partir d'un certain rang N, pour ensuite étudier sa nature.
Tout d'abord, j'ai montré par récurrence qu'à partir du rang 2, on avait .
Je dois désormais montrer par l'absurde que .
J'ai exprimé la négation de cette assertion : .
Hélas malgré de longues recherches, je n'arrive pas à aboutir à une absurdité.
Je sais que N
2, u_N >
(u_N) mais ça ne m'avance hélas pas des masses...
Merci beaucoup par avance à qui voudra bien me donner un petit coup de main...
Excellente journée à vous !
Pourriez-vous me confirmer que la méthode est bien la bonne s'il vous plaît ? :/
Merci beaucoup d'avance
Salut,
On suppose que la suite est strictement croissante donc
qui est un polynôme en
Donc on obtient donc deux racines
Ce trinôme est positif entre ses racines et tends vers 1 quand n tend vers l'infini et donc
aussi, ainsi pour
assez grand
La suite est donc décroissante à partir d'un certain rang.
Montrons à présent que si la suite décroit à un certain rang, elle est décroissante aux rangs suivants :
Supposons que alors
et donc
Par conséquent, la suite décroit à partir d'un certain rang. Comme elle est minorée par 1, elle converge vers une certaine limite,
On étudie donc : (Je me suis décalé d'un dans l'indice, ça ne change pas la démo, mais pas le courage de corriger ^^ )
si
Donc
Par récurrence sur on a :
Or
Et ainsi on a :
Soit il existe un rang
tel que
Il existe alors un rang tel que
Ainsi si on obtient que
avec
donc
avec les majorations ci-dessus.
D'où, la suite converge, vers la seule limite possible
Shadock
Bonjour !
Tout d'abord merci énormément pour votre réponse très complète !
Par contre, désolé de vous embêter encore, mais je n'arrive pas vraiment à comprendre comment justifier votre 5e ligne.
En effet, j'arrive bien au même polynôme, aux mêmes racines, pas de soucis.
Tout comme vous, je trouve que
N
*, uN+1 > uN
revient à dire que uN est entre les deux racines que vous trouvez.
Ce qui implique que uN <
Et ensuite, on dit que tend vers 1.
Par contre, je ne comprends pas pourquoi est-ce que si uN est strictement inférieur à , alors il serait strictement inférieur à sa limite.
Il me semblait qu'il fallait passer à une inégalité large à ce moment, puisqu'il pourrait "tendre par en haut" (pas très matheux x))
Et si on passe à une inégalité large, il n'y a plus aucune absurdité puisque uN peut très bien être égal à 1...
Voilà voilà, si vous pouvez détailler cette petite ligne s'il vous plaît...
Merci énormément par avance
Bonne journée !
Rebonsoir,
Après développement, j'arrive à
Et, encore une fois, le membre de droite tend bien vers 1.
Néanmoins, même en ayant montré plus tôt que , je ne parviens pas à une absurdité (ce qui est pourtant le but recherché...)
Auriez-vous s'il vous plaît une piste à me proposer ?
Merci beaucoup d'avance
Bonjour,
Encore un petit up, j'en suis vraiment désolé... Mais je ne parviens vraiment pas à résoudre ce problème.
J'en profite pour signaler une petite coquille dans mon dernier message, c'est bien entendu à partir du rang 2 (et non pas inférieur ou égal).
Il n'empêche que cela ne me permet pas de conclure quant à une absurdité. J'ai bien u_n qui est majorée par un membre qui tend vers 1, mais je ne parviens toujours pas à expliquer en quoi cela donne lieu à quelque chose d'absurde.
Merci beaucoup par avance.
En fait, honte à moi... Il me manquait la 2e ligne de votre explication, très courte et pourtant capitale pour comprendre la suite... Toutes mes excuses. Je pense avoir compris, je retourne à mon devoir et vous confirme tout cela... Encore désolé
Et voilà, exo fini !
Pas de soucis pour montrer qu'il existe un rang N où (un) décroît par l'absurde.
Puis comme vous j'ai fait l'hérédité donc pas de soucis pour étendre la décroissance à partir du rang N.
Concernant la limite éventuelle, par contre, je n'ai pas vraiment compris votre développement, je suis simplement passé à la limite sur u(n+1) = sqrt(un)+1/n, ce qui donnait l=sqrt(l) puis l=1 vu que l est supérieur ou égal à 1.
Si vous voulez bien expliquer votre méthode, je serais ravi de la comprendre, j'espère que la mienne fonctionne aussi...
En tout cas un grand merci à vous pour votre aide
Très bonne soirée
Merci
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