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Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang

Posté par
Timox
30-10-14 à 10:13

Bonjour à tous.

Je me permets de venir vous demander un peu d'aide pour un exercice de maths sur les suites.

Je dois montrer que la suite (u_n) définie par u_1 \ge 0 et \forall n \in \mathbb{N^*}, u_{n+1} = \sqrt{u_n} + 1/n est décroissante à partir d'un certain rang N, pour ensuite étudier sa nature.

Tout d'abord, j'ai montré par récurrence qu'à partir du rang 2, on avait u_n \ge 1.
Je dois désormais montrer par l'absurde que \exists N \in \mathbb{N^*}, u_{N+1} \le u_N.
J'ai exprimé la négation de cette assertion : \forall N \in \mathbb{N^*}, u_{N+1} > u_N.
Hélas malgré de longues recherches, je n'arrive pas à aboutir à une absurdité.

Je sais que N 2, u_N > (u_N) mais ça ne m'avance hélas pas des masses...

Merci beaucoup par avance à qui voudra bien me donner un petit coup de main...
Excellente journée à vous !

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 31-10-14 à 00:14

Pourriez-vous me confirmer que la méthode est bien la bonne s'il vous plaît ? :/

Merci beaucoup d'avance

Posté par
Shadock
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 31-10-14 à 02:16

Salut,

On suppose que la suite est strictement croissante donc u_2>1

u_{n+1}-u_{n}=-u_n + \sqrt{u_n} + \frac{1}{n} qui est un polynôme en \sqrt{u_n}

Donc \Delta=1+\frac{4}{n} on obtient donc deux racines \frac{1 \pm \sqrt{\Delta}}{2}

Ce trinôme est positif entre ses racines et \Delta tends vers 1 quand n tend vers l'infini et donc \left(\frac{1 \pm \sqrt{\Delta}}{2}\right)^2 aussi, ainsi pour n assez grand u_{n+1}-u_{n}<0

La suite est donc décroissante à partir d'un certain rang.

Montrons à présent que si la suite décroit à un certain rang, elle est décroissante aux rangs suivants :

Supposons que u_{n+1}<u_n alors \sqrt{u_{n+1}}+\frac{1}{1+n}<\sqrt{u_n}+\frac{1}{n} et donc u_{n+2}<u_{n+1}

Par conséquent, la suite décroit à partir d'un certain rang. Comme elle est minorée par 1, elle converge vers une certaine limite,  l \ge 1

On étudie donc U_n-1: (Je me suis décalé d'un dans l'indice, ça ne change pas la démo, mais pas le courage de corriger ^^ )

U_{n+1}-1=\sqrt{U_n}-1+\frac{1}{n+1}
                  =\frac{U_n-1}{\sqrt{U_n}+1}+\frac{1}{n+1}
                  \le \frac{1}{2}\left(U_n-1\right)+\frac{1}{n+1}
si n \ge 1

Donc |U_{n+2}-1| \le \frac{1}{2}|U_{n+1}-1+\frac{1}{n+2}|
                            \le \frac{1}{4}|U_n-1| +\left(\frac{1}{2}+1\right)\frac{1}{n+1}



Par récurrence sur p \ge 1 on a :

|U_{n+p}-1|\le \frac{1}{2^p}|U_n-1|+\left(1+\frac{1}{2}+\text{...}+\frac{1}{2^{p-1}}\right)\frac{1}{n+1}

Or 1+\frac{1}{2}+\text{...}+\frac{1}{2^{p-1}}\le2

Et ainsi on a :
\forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N^*}, |U_{n+p}-1|\le \frac{1}{2^p}|U_n-1|+\frac{2}{n+1}
Soit \epsilon > 0 il existe un rang N_0 tel que \frac{2}{N_0+1}<\frac{\epsilon}{2}

Il existe alors un rang N_1 tel que p \ge N_1 \Rightarrow \frac{1}{2^p}|U_{N_0}-1|<\frac{\epsilon}{2}

Ainsi si n \ge N_0+N_1 on obtient que n=N_0+p avec p \ge 1 donc |U_n-1|<\epsilon avec les majorations ci-dessus.

D'où, la suite converge, vers la seule limite possible 1

Shadock

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 31-10-14 à 15:22

Bonjour !

Tout d'abord merci énormément pour votre réponse très complète !

Par contre, désolé de vous embêter encore, mais je n'arrive pas vraiment à comprendre comment justifier votre 5e ligne.

En effet, j'arrive bien au même polynôme, aux mêmes racines, pas de soucis.

Tout comme vous, je trouve que

N *, uN+1 > uN

revient à dire que uN est entre les deux racines que vous trouvez.

Ce qui implique que uN < {\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}}^2
Et ensuite, on dit que {\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}}^2 tend vers 1.

Par contre, je ne comprends pas pourquoi est-ce que si uN est strictement inférieur à {\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}}^2, alors il serait strictement inférieur à sa limite.

Il me semblait qu'il fallait passer à une inégalité large à ce moment, puisqu'il pourrait "tendre par en haut" (pas très matheux x))

Et si on passe à une inégalité large, il n'y a plus aucune absurdité puisque uN peut très bien être égal à 1...

Voilà voilà, si vous pouvez détailler cette petite ligne s'il vous plaît...

Merci énormément par avance
Bonne journée !

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 01-11-14 à 15:13

Petit up, s'il vous plaît ^^'
Si jamais quelqu'un a une idée...

Merci d'avance !

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 01-11-14 à 19:38

Rebonsoir,

Après développement, j'arrive à

u_{N+1}-u_{N} > 0 \Longleftrightarrow u_{N} < 0.5 + \sqrt{0.25+\frac{1}{N}}+\frac{1}{N}

Et, encore une fois, le membre de droite tend bien vers 1.
Néanmoins, même en ayant montré plus tôt que u_n \le 1, je ne parviens pas à une absurdité (ce qui est pourtant le but recherché...)

Auriez-vous s'il vous plaît une piste à me proposer ?

Merci beaucoup d'avance

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 02-11-14 à 15:40

Bonjour,

Encore un petit up, j'en suis vraiment désolé... Mais je ne parviens vraiment pas à résoudre ce problème.

J'en profite pour signaler une petite coquille dans mon dernier message, c'est bien entendu u_n \ge 1 à partir du rang 2 (et non pas inférieur ou égal).

Il n'empêche que cela ne me permet pas de conclure quant à une absurdité. J'ai bien u_n qui est majorée par un membre qui tend vers 1, mais je ne parviens toujours pas à expliquer en quoi cela donne lieu à quelque chose d'absurde.

Merci beaucoup par avance.

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 02-11-14 à 18:12

En fait, honte à moi... Il me manquait la 2e ligne de votre explication, très courte et pourtant capitale pour comprendre la suite... Toutes mes excuses. Je pense avoir compris, je retourne à mon devoir et vous confirme tout cela... Encore désolé

Posté par
Timox
re : Suite récurrente décroissante à partir d'un certain rang 02-11-14 à 18:49

Et voilà, exo fini !

Pas de soucis pour montrer qu'il existe un rang N où (un) décroît par l'absurde.

Puis comme vous j'ai fait l'hérédité donc pas de soucis pour étendre la décroissance à partir du rang N.

Concernant la limite éventuelle, par contre, je n'ai pas vraiment compris votre développement, je suis simplement passé à la limite sur u(n+1) = sqrt(un)+1/n, ce qui donnait l=sqrt(l) puis l=1 vu que l est supérieur ou égal à 1.

Si vous voulez bien expliquer votre méthode, je serais ravi de la comprendre, j'espère que la mienne fonctionne aussi...

En tout cas un grand merci à vous pour votre aide

Très bonne soirée
Merci



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