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suite recurrente definie par f(x)=ax+b
bonjour
il y a une astuce que je ne vois pas pour la deuxieme question
la premiere est facile...
soit , a,b,x0 appartenant à R avec a different de 1 . On veut étudier la suite récurrente (xn) avec n appartenant à N définie par x(n+1)= f(xn) et x0 appartenant à R avec f(x)= ax + b
1) Montrez que , si la suite admet une limite L appartenant à R , alors L doit vérifier f(L)=L
2) soit L appartenant à R une solution de l'équation f(L)=L. Exprimer xn - L en fonction de x0 - L . ( calculer x(n+1) - L en fonction de xn - L et appliquer une recurrence)
3) En déduire que la limite quand n tend vers +infini de xn existe et vaut L si la valeur absolue de a est strictement inférieure à 1 ou si x0=L que cette limite vaut +inf si a>1 et x0 < L , et que la suite n'a npas de limite si a<= -1 et xO different de L .
merci beaucoup d'avance
( il me faudrait la reponse cette apres midi svp)
Bonjour,
1)
Il ne manque pas un bout d'énoncé ? Ne précise-t-on pas que f est continue ?
On suppose que
Fais tendre vers l'infini.
Le membre de gauche tend vers . Le membre de droite tend vers
puisque
est continue.
Nicolas
non il ne manque pas un bout d'énoncé .
pour la question 2 , je n arrive aps à exprimer x(n+1) - L en focntion de xn -L
on a x(n+1) - L = a*x(n) + b - L ,
mais apres pour la recurrence ???
2) N'oublie pas que f(L)=L donc x(n+1)-L=f(xn)-f(L)=a(xn-L)=a^2(x(n-1)-L=...
en itérant donc xn-L=a^n(x0-L)
d'où le 3), si la valeur absolue de a est strictement inférieure à 1 ou si x0=L, la limite de xn est L, sinon...
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