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Suite récurrente et partie entière
Bonjour à tous,
Alors voilà, depuis quelques temps, je ne suis pas sûr de saisir une notion, et là j'y suis confronté et je bloque sérieusement.
Voici l'exercice :
"Etant donné un réel on note
sa partie entière et on considère la fonction
définie pour tout réel
par
.
Soit , on définit par récurrence la suite
en posant, pour tout
,
. Puis, pour tout entier
, on pose
.
Justifier que la suite est bien définie et que l'on a pour tout entier
,
et
{
}.
Je n'arrive pas à saisir proprement le sens de "bien définie", j'aurais compris s'il y avait une fonction logarithme, où là je dois vérifier que les valeurs prises par cette fonction ne sont ni nulles ni négatives, ou si j'avais une fonction inverse ou racine carrée, mais sur une fonction comme ça, que dois-je chercher et comment le faire ?
Je vous remercie sincèrement pour votre éclaircissement.
Bonsoir,
pour que f(x) soit définie il faut que x soit entre 0 et 1. C'est dans la définition de la fonction.
Donc, si je comprends bien, je dois vérifier que x_n soit dans l'intervalle [0;1], et à la suite de la question, vérifier que x_n soit entre [0;1[, c'est bien ça ?
Une petite remarque, j'ai décidé d'utiliser le raisonnement par récurrence pour établir 0 ≤ x_n ≤ 1, l'initialisation est donnée dans l'énoncé, et j'arrive à prouver l'hérédité mais sans utiliser l'hypothèse de récurrence, j'utilise simplement le fait que, par définition de la partie entière : pour tout u dans IR, E(u) ≤ u < E(u) + 1, puis je remplace u par x_n et j'aboutis sur ce que je souhaitais démontrer.
Forcément, n'ayant pas utilisé l'hypothèse de récurrence, je me demande si cette méthode est-elle vraiment adaptée pour cette question ? ( n'est-elle pas trop "puissante" ? )
Sans l'utiliser, je donne la même définition de la partie entière, et j'obtiens : 0 ≤ 10x_n - E(x_n) < 1 donc 0≤ f(x_n)< 1.
Mais je suis en train de m'embrouiller je crois, est-ce que cela suffit de le dire de cette façon pour prouver que 0 ≤ x_n < 1? D'un côté ça répond à 2 questions en une, ce qui m'étonne également.
Pourrais-tu m'éclairer sur ce point s'il te plait ?
Il n'y a pas besoin de récurrence pour montrer que u-E(u) est dans [0;1] quelque soit le réel u.
C'est quasiment la définition de la partie entière.
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